1樓：Yu Loeh
這是乙個非常具哲學性的問題，但當下教材往往都沒能說清楚。我們先要分別思考面積和定積分的本質是什麼？本質上，面積就是乙個實數，一種可以比較大小的度量，而面積的計算，本質上就是尋找乙個恰當的實數，來賦予給定的圖形；而定積分的本質，是無限細分下產生的乙個極限，準確說是無限細分下黎曼和的極限。
那麼不禁要問，為什麼這個實數恰好就是這個極限呢？直覺會告訴我們是，但在數學面前，直覺是靠不住的。面積有乙個基本原則：
圖形的區域性面積不能超過其總面積，我們將基於這一原則來論證為何這個實數是這個極限。
首先，要為面積尋找乙個恰當的實數，我們可以先考慮一下這個實數可能的區間範圍。由於不規則圖形的面積不好直接計算，於是我們將 軸劃分為若干區間，計算出達布大和與達布小和。由此我們會立馬發現，達布大/小和之間的實數就是面積的可行區間。
其中的原理是，圖形的區域性面積不能超過其總面積。由於大和矩形條總是覆蓋目標曲線，面積固然更大；同理小和矩形條又總是在目標曲線下方，面積理應更小。
於是，下一步我們就要思考，這樣的可行區間能否進一步縮小？注意到面積這個實數，它應該不管如何分割，始終處於該劃分下的達布大/小和之間，也就是說，面積應該比一切的達布小和大，也比一切的達布大和小。由此當我們窮盡所有分割，會找到達布小和的乙個天花板，稱為上確界，用數學語言來說，就是把所有劃分產生的小和放入乙個數集中，這個數集有上確界，而面積不能小於該上確界。
同理，達布大和必有下確界，而面積不大於該下確界。因此，面積的可行區間可以進一步縮小到達布小和的上確界與達布大和的下確界之間。
注意到，達布小和的上確界達布大和的下確界，這是因為「大和不增，小和不減」。從而小和的上確界與大和的下確界之間確有實數存在。
然而，當達布小和的上確界達布大和的下確界，則有無窮多的實數待定。
所以，黎曼同志拋棄了上面這種情況，而將「達布小和的上確界達布大和的下確界」這種情況，定義為黎曼可積。
從而，兩確界之間就只剩下了唯一實數，這個實數必定是面積。只有這樣的實數，才能保證圖形區域性面積不超過總面積，這一基本原則。
2樓：han
保證看了的同學都能理解定積分求面積咋會事了。 從解題出發吧
題：求 y = 2x 這個函式 x從0-10 圍成的影象面積。（下面藍色區域）
y = 2x 影象
面積：10*20/2 = 100 （直角三角形的面積公式算出 = 100）
2x的原函式x^2，10^2 - 0^2 = 100 (積分面積公式算出 = 100)
下面我們採用積分的思維來求面積：
可以看成下圖
這個求和公式萊布尼茨不喜歡，他就用下面的公式來表示，積分出現：
這個的dx就是x的增量，積分符號後面的 2x dx 就是 2x 乘以 dx 的意思。
我們再來看乙個函式
求他的導數（導數就是瞬時變化率，也就是y的增量和x的增量比值）
發現了嗎？ 2x 是最開始我們看到的函式， 因為 dy(y的增量) / dx (x的增量) = 2x , 所以 2x dx = dy , 因為前面我們把dx 定義為1 , 所以 2x * 1 = dy , 所以 2x = dy。 dy = (x+dx)^2 - x^2 = 2x
小結：現在我們可以清楚的知道，定積分 2x dx 實際上就是求 dy，也就是求 y 的增量,求增量就必須求出原函式
其實我們也可以不求原函式，通過累加的方式來計算： 例：求上限5到下限0的2x dx的定積分，那就是 2 * 1 + 2 * 2 + 2 * 3 + 2 * 4 + 2 * 5 = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30 如果我們用原函式來求 x^2 - x^2 = 5^2 - 0^2 = 25 - 0 = 25 發現問題了嗎？
30 - 25 = 5 (如果算10，結果就是110，從影象看的確也多了10)，如果按照分成10個柱子來求和，就會多出5，從上面的10根柱子影象上，發現確實多了5個小方塊，那是因為我們柱子不夠細。如果把dx定義 = 0.5，原來 2*1 就可以看成 2*0.
5*0.5+2*1*0.5 = 1.
5 而不是 2,所以柱子分得越多，越精確，就會越來越接近於25 。那為什麼原函式算出來就等於25呢？請思考下圖
y的增量函式 = (x+dx)^2-(x)^2 ， 前面求導數有提到
x從0-1的增量 (0+1)^2 - (0)^2 = 1
x從1-2的增量 (1+1)^2 - (1)^2 = 3
x從2-3的增量 (2+1)^2 - (2)^2 = 5
x從3-4的增量 (3+1)^2 - (3)^2 = 7
x從4-5的增量 (4+1)^2 - (4)^2 = 9
這些y的增量加起來就是x=5的時候y的值，1+3+5+7+9 = 25，剛好等於x上限5下限為0圍成的面積
看到這兒，相信大家應該明白怎麼回事了。
總結：定積分求面積從影象上看，可以理解成很多個 『高 * 底』 的小柱子累加，如果 '底' 接近於無窮小，就可以通過求導公式想到這個 '高' 其實就是 '原函式y的增量' ,所以就必須求出原函式，原函式得出的y值就是增量的集合，也就是定積分求影象的面積。
3樓：
如果按定義理解，它是定積分，也是一種特別的極限，那個極限就是根據乙個求曲邊梯形面積的設計，慢慢寫出來的。
如果按定積分中值定理理解，就更簡單了。定積分等於上限減去下限，乘以函式的某個點的值。
看圖說話的話，就像是曲邊梯形三個邊都已經知道了，分別是x＝a,x＝b,y＝0，只剩下那個「曲邊」還不知道該取多少。如果把這個曲邊梯形看成乙個矩形，是不是面積就非常好算了？那很自然就想到了，如果把曲邊，也就是函式的值，取乙個「平均值」，就可以求出來面積了。
所以定積分中值定理就是這種邏輯，等於(b-a)乘以f(ε)，其中(b-a)就是矩形的乙個邊，而f(ε)就是函式的「平均值」，就是矩形的另乙個邊。
至於為什麼要求該函式的原函式，再代值並相減，就是牛頓萊布尼茲公式解決的問題了。有興趣可以看看證明過程。
4樓：cvgmt
定積分的其中一種意義而已。
定積分是把函式 f 沿著 x 正方向積累。
如果把 f(x) 解釋為一條線段長，就是面積。
如果把 f(x) 解釋為力的大小，就是做功。
如果把 f(x) 解釋為面積，就是體積。
如果把 f(x) 解釋為速度，就是求路程。
為什麼定積分可以求面積？
絕望的人將所向無敵 自己的理解，原函式是f x 兩點間f x1 f x2 k1x1 k2x2，令x1，x2無限接近，就應該等於 k1 k2 x，然後就可以用導數的f x 來表示k，變成 y1 y2 x，再把不規則的曲面分成乙個個矩形相加，取極限，就是面積了。 han 保證看了的同學都能理解定積分求面...
勒貝格意義下的曲線曲面積分是如何定義的？
光滑流形上的Riemannian metric可以誘導出乙個測度，也就是所謂的volume measure。需要注意的是曲線曲面的 黎曼積分 也就是數學分析和復分析裡面分割求和取極限那一套 是乙個外蘊定義 cvgmt 感覺光有 Lebesgue 積分或者 Lebesgue 測度不夠處理曲面和曲線積分...
定積分為什麼要用極限來定義？
龔漫奇 為了適合人類對面積的直觀感覺。因為 a,b f x dx 由x軸和x a，x b，y f x 四條線所圍的曲邊梯形的面積 自學生 我發現了 大自然的正反規律 都是地心重和天空輕的正中球面時間，都是球面投影的六份統一半徑時間標準週期模型。六份統一和之一的半徑等邊三角形球面，是A B C的5 6...