學習非線性分析中的拓撲度理論需要什麼基礎？

1樓：李大鵬

拓撲度理論可以從分析，幾何，代數不同的方向給出定義展開研究，但本質上都是一樣的。如果是有限維的拓撲度理論，也就是布勞威爾度，只需要本科的向量場和基本的數學分析就能看懂了。如果是學無限維的 leray schauder 度的話至少需要學過線性泛函分析，各種函式空間。

拓撲度也可以學得很深，看你具體的需要，拓撲度在偏微分方程這一塊是用的最多的研究工具。在微分流形上也能定義拓撲度，但拓撲度不在代數拓撲的範疇內，初學階段不需要代數拓撲。

2樓：

單純學拓撲度可能有一點泛函分析基礎就可以了，連實分析都不需要。。。因為有純分析的定義方法得到有限維Brouwer度，然後用有限維逼近可以定義Leray-Schauder度。。。

3樓：

學習非線性泛函分析並不需要代數拓撲基礎，但是有的話更好。

基礎的微分流形理論還是要的。但也僅僅限於類似Spivark《流形上的微積分》這樣的內容。這本書不過是微分幾何、微分拓撲、代數拓撲的「先導片」罷了。

學習非線性分析，一般並不會要求學生先修代數拓撲。畢竟，非線性泛函分析與代數拓撲屬於「同一級別」（就好比抽象代數與線性泛函分析屬於同一級別，它們分別是代數拓撲和非線性分析的前置基礎）。對於非線性分析，最重要的基礎還是本科實變函式、線性泛函分析、常微分方程和數學物理方程。

至於非線性分析中的拓撲方法，這一理論的表述方式早已經被改造成適合分析學學者掌握的了。

但是如果要深入學習非線性分析中的Morse理論，還是需要代數拓撲的。因為這塊內容免不了同調論。