1樓：天真燦爛小葉子
一般的理論可以查詢多重線性代數相關的科普或者講義.
從物理的需要來看，對於有限維度的向量空間 ，任何與座標系無關的(這段限定本質上是多餘的)線性變換可以由某乙個(未必唯一) 表示為
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後一步是將後式定義為前式(這是為了湊出點積)，方括號為向量空間與對偶空間的配合.
由於 在運算上沒有任何區別，就可以把他們關於運算的需要歸為一類(只要運算結果總是一致的就視為同一張量)，統一記為 或者直接省略張量積符號記為，這就是並矢.
並矢本質上就是乙個多重線性對映，一切並矢的定義都是對其多重線性對映本性的描寫.
而在給定度量(抑或是度規)的空間中， 中的元素與 有自然的對偶，所以可以把原本應該寫成 的張量直接寫成 的形式，這個時候原本定義中的空間間的配合就要改為內積也就是點積.
而向量積就是由兩個向量產生乙個向量，其基於空間幾何的定義只有3維時才有效，更一般的定義則是對兩向量依次取外積和Hodge對偶.至於向量積的作用...似乎更多是Hodge對偶的作用，也就是：
「通過Hodge星運算元，可以建立起維光滑流形中-微分形式和-微分形式之間的等效關係。」
來自系列
jRONI私家課：MP26：力學與電磁學中的外微分(2)：Maxwell方程組、電場與磁場、Hodge星運算元
說白了還是Hodge對偶在給定了度量的 維線性空間中對 階反對稱向量和 階反對稱向量給出了乙個一一對應，這個對應在物理理論有不小的作用.
從多重線性對映的角度，雙點乘也類似.以上.
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