1樓：歸於滄桑
題主的證明來自Linear Algebra Done Right這個證明其實就是想到了任意非零多項式在x趨於無窮時非零多項式的值趨於無窮這個直觀的結論，然後再用類似高中找零點的技巧找到了這個點，我覺得可以當作乙個技巧吧。
其他的方法的話，我一下子想到的是代入0,1,2,...,n這n+1個數值，得到了n+1元方程組，然後就容易知道所有係數均為0了。只不過可能這樣也要用到克萊姆法則，或許也不太好？
這也是我省以前高考故意卡分的方法。（江蘇省某年高考不准用這個結論，提供的答案中用了代入具體數值解方程的方法）
2樓：吃月亮的人
不用到抽象代數吧，只要借用高等代數的一些定義就好了
只需要證明x為未定元時，1，x，x……線性無關，而這是未定元定義的顯然推論
3樓：詩人
首先要分清多項式和多項式函式的區別。
所以多項式當然是由係數唯一決定的，你的問題其實是什麼時候多項式函式由係數唯一決定。
你問題中的那道題實際就是要證明F是實數域或者複數域的時候，上式成立。
下面是一般性的結論：
先看右推左：
這樣就已經解決你問題中的題目了，而且證明了只要F無限，結論就成立。
再看左推右：
至此我們完全解決了「什麼時候多項式函式由多項式的係數唯一確定」這個問題。
關於多項式，尤其是域上的多項式的知識在高等代數（線性代數）的課程中應該有所涉及。這裡寫得可能有些冗長，主要是為了說清多項式和多項式函式的定義，以及它們未必是相同的（僅在域是無限域的情況下是相同的）。你的問題中的那個證明是偏分析的，我這裡的證明是偏代數的，各有利弊，但是我這裡的證明可以解決一般的問題。
4樓：七樓七樓七七七七
題主看到的證明還是蠻有意思的，不過我在抽象代數中學到的多項式是更像是乙個人為規定的概念，通過定義直接使得 成為多項式環中的一組基，自然使得多項式環中的每乙個元素是由係數而決定的。當 是無限域的時候，有 作為多項式函式環與多項式環同構，從而使多項式函式的結果被係數唯一決定。定義如下，出自聶靈沼與丁石孫先生著的代數學引論：
5樓：
話說F是啥呀？
好吧，且不管F是啥，事實上，在環R上的一元多項式環中，乙個多項式實際上是乙個從N到R的函式，使得只有有窮項非0。也就是說，當我們考慮乙個多項式的時候只關心其各項的係數。
環R上的多項式可以確定R上的乙個函式，即在x代入R的元素，但這並不說明它等同於乙個R上的函式。
例如說取R=｛0，1｝，為含有兩個元素的域，那麼R上的多項式x－x作為函式與零多項式0是一樣的，但作為多項式我們將它們區別看待。
F應該是C的子域？都有範數了。。
另外乙個證明的思路是構造乙個充分大的x取值（依賴於係數），然後直接代入多項式，證明值大於或者小於0。
泰勒多項式的唯一性定理？
王箏 正好下次習題課打算講這個，就搬運一下。所謂Taylor展開的唯一性是指 如果在時能夠寫成 就一定有.等價的說法是，如果在時，有兩個等式 和，那麼必有.一般的數分教材上都有證明，當的時候 成立，但是偶爾呢我們也可以通過其他方式，不求導數，來得到形如 的乙個展開式，唯一性保證了這兩種展開式是相同的...
如何規範確定一條多項式曲線的階數？
第一，如果你已經有先驗知識告訴你多項式的階數到底是多少，那麼就沒什麼好說的了，用那個階數就好，如果你不知道那個階數是多少，確定階數是否足夠最簡單的辦法就是畫乙個殘差圖，如果殘差與自變數沒有相關關係，那麼就可以認為階數已經足夠。你可以在小於等於當前多項式階數的多項式中繼續搜素。第二，如果你不做外推，只...
兩個不大於 k 次的實係數多項式在 k 1 個點相等，這兩個多項式就一定相等嗎？
nameless 用羅爾就好了。設fx為兩個多項式之差。那麼fx有k 1個零點。fx是多項式，那麼在實數域上都是連續且可導的那麼不斷使用羅爾定理，可知fx的n階導函式至少有k 1 n個零點 n k 1 我們知道，fx的k 1階導為一常數函式，值為0那麼，fx的k階導是一常值函式 因為其導函式為0 又...