1樓：sinxl
各位答主，我提乙個疑問啊，人家題主也沒說加括號只能兩個兩個加啊。
比如，abcd四個元素
(abc)d, a(bcd), (ab)cd, a(bc)d, ab(cd),
(ab)(cd)都是合法的啊！
再算上完全不加的abcd和全都都擴上的(abcd)，明明一共有8種方式啊
因此，n個數加括號一共有2^(n-1)種方式。如果再考慮abcd之間的順序，就再乘以Sn=n！
那麼，問題來了，以上操作是否構成乙個群？
2樓：
答案就是Catalan數，其他答案裡是有提到為什麼滿足那個遞推關係的，我這裡就不贅述了
如果我們令數列 ，
滿足遞推關係：
則可得這就是Catalan數的遞推公式和通項公式一般書上給出的通項公式的證法多數是構造各種組合數學的模型，或者使用母函式法
我補充個只依賴數學歸納法的純粹初等證法：
它等價於證明恒等式
（ ， ）
注意 由對稱性，顯然
於是它等價於證明恒等式
（ ， ）
時顯然它是成立的
假設 時它也成立，即
注意：這樣可得
便由數學歸納法證明了
也即（ ， ）
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