1樓：
區間上的實根個數有斯圖姆定理，計算比較複雜，不過可以機械化。
你的題目裡說
給定乙個一元n次方程，其各項係數在區間(-n,n)上隨機選擇，考慮它的極限行為
最好把區間換成(-m,m)，對固定的n看m趨於無窮的極限比較好。
不過個人覺得一開始考慮正態分佈或者柯西分布更好一些。
2樓：樸正歡
簡單地分析一下，設
顯然 , 因此不妨只考慮 0" eeimg="1"/>由於復根總是成對出現，且所有根的積為 , 因此顯然當 時總是有實根（故概率總大於一半），所以只需要考慮 0" eeimg="1"/>的情況
此時當 , 有 0" eeimg="1"/>，若其有實根，由連續性可知必定存在點 使得 , 反之若無實根，則總有 0" eeimg="1"/>，也就是所謂的 positive polynomial.
所以這個問題等價於問能不能估計 positive polynomial 的體量，有很多這方面的研究工作，所以這也顯然超出了網路問答所能解決問題的範疇。
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