1樓：
有非標準分析，不使用epsilon-delta語言，直接定義無窮大和無窮小，但是實際上比epsilon-delta語言的數學分析更難學。
2樓：
是否有必要取決於目的。抽象的來看，極限，求導，積分都是一系列模組化的操作：
極限就是給定乙個函式和乙個數，然後算出另乙個數「極限」。
求導就是給乙個函式然後算出另乙個函式「導函式」。
不定積分就是給乙個函式然後算出另乙個函式「原函式」。
定積分就是給定乙個函式和乙個區間，然後算出乙個數「積分」。
對常見的初等函式，這些運算都是有經典的，明確的計算法則和技巧的，可以不涉及epsilon-delta語言。實際上高中競賽或者高中選修課程裡面教的微積分就是這樣的。而在epsilon-delta語言出現前的時代，微積分已經有了廣泛的應用。
所以從這點來說不涉及epsilon-delta語言並不會對微積分在自然科學中的應用造成很顯著的限制。
然而對於一些奇怪的情況，直接套用經典的法則可能會出問題，這個時候就需要epsilon-delta語言來解釋。我現在想到的乙個例子就是交換求導和積分順序，或是求導和求和順序，一般情況下都是沒有問題的，大家一般不檢查定理成立的條件，都是先算了再說。萬一出了問題，我們會意識到收斂性可能出了問題，於是可以回去檢查。
總結來說，不學epsilon-delta語言的優點就是省一些時間（1個小時到兩三個禮拜？），缺點是萬一有問題很有可能無法解決。我覺得這個知識點是有價值的，但沒有必要放在一開始講，可以將其放到後面或者其他的課程裡面，比如集合論，拓撲。
被更抽象的知識吊打後就不會感覺epsilon-delta語言難了。
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