1樓：hhh
錯的，當然不等於4次根號4。然而x^x^x^x^x^x^……^x=8,照你這樣x等於8次根號8，但是8次根號8幾次迭代冪也只能小於2。只有在((1/e)^e,e^(1/e))範圍內無窮迭代冪才是收斂的，值域為(1/e,e)。
但是4是取不到的，所以沒有乙個值的無窮迭代冪等於4。
根號2的根號2的根號2的根號2的根號2……次方，它最後只能等於2。因為根號2<2，根號2的根號2次方必然小於2，根號2的根號2的根號2……的根號2次方也必然小於2，但是根號2越多值越來越趨於2，所以無窮次根號2迭代冪只能等於2。
然後在x次根號x中，當x=e時，值最大，為1.44多，然後在x>e時，值越來越小，所以在x x次根號x的無窮迭代冪等於x次根號x的x次方。1.44的無窮次迭代冪大約是2. 6多，而1.45的無窮次迭代冪趨於無窮大。e次根號e的無窮次迭代冪等於e。 2樓：Veloc 先丟擲結論：問題在於遞迴基。 把 換成任意的數 有類似的結論。 簡單版： 這兩種表達在遞迴意義上是不等價的！！！ 第一種表達沒有給出遞迴基！從而導致多解！ 詳細版： 從電腦科學的角度來解釋。 任何乙個遞迴都可以寫成： 是任意的乙個對 的操作，從而得到 。 （注意， ， 可以是向量，也就是多個元素，這裡預設為乙個元素） 但是！！！ 必須給出至少乙個遞迴基！！！即， 否則，就會導致 可能有多個解。 即，遞迴=（若干）通項公式+（若干）遞迴基。 比如，給出下面這個通項公式 很容易解出 ，也就是通項公式的不動點 實際上，只有當遞迴基 給定以後，我們才能確定究竟收斂到哪乙個極限，0，還是1。 而回到我們原來的問題，我們發現 這個形式根本就沒有給出遞迴基，它只給出了通項公式。 我們可以找到的通項公式是形如下面的式子：（除此之外沒有別的不等價的形式） 但是，從 裡，我們永遠也找不到 ，它被這個神奇的省略號給省略掉了。 也就是說， 的遞迴表達為 1、通項公式 0）" eeimg="1"/> 2、未指定遞迴基 同時， 的遞迴方向是往斜上方的，但是通項公式所給出的方向是不斷往斜下方迭代。因此顯然有多個解。 所以這個問題真正的描述形式應該是 。 的遞迴表達為 1、通項公式 0）" eeimg="1"/> 2、遞迴基 容易解得 。 證畢。補充：為什麼不能證明 ？ 這個似乎已經暗示了 ？？？ 但是，若我們將其記作： 可以當做乙個任意給的變元。可以簡記為 ，即 。 就是 的無窮復合函式的極限。 那麼 是不是就很好理解了？ 就是關於遞迴基 的乙個函式而已。 對於 的定義域（有定義，也就是那些使得極限收斂的x點）， 將定義域上所有的對映為值域上的兩個點 。 顯然不能證明 。 3樓：申奡卓 我們不妨先定義乙個數列(抱歉，不知道公式編輯器怎麼調出來): a0=sqrt(2)，an+1=sqrt(2)^an。 先做乙個程式模擬: n=1(a為迭代值，a0為初始值，,L1,L2,L3分別是迭代列表，點列及折線) n=16 n=100 我們要求的就是當n趨向於無窮時an的極限。在求這個極限前，我們不妨先觀察一下這個方程: sqrt(2)^x=x 這個方程有什麼意義呢?我們不妨假定這個方程有解(事實也如此)。如果我們做乙個近似，計算有n個冪(n→+∞)的情況，並假定此數列收斂。 當我們計算到第i個冪時，前面已計算了i-1次並令結果為x'，若x'等於上文中方程的解x，則有sqrt(2)^x=x，在下一次計算中結果亦為x，則再經過無窮多次計算後結果亦為x。當然，更嚴謹的做法是令an=an+1=x，與此方程同解。 事實上，對於f(x)=x的解，即y=f(x)與y=x影象的交點，數學中稱之為不動點。它在數學中有廣泛的應用，如不動點迭代法(見末尾)等。 由GeoGebra解得: [附錄] 本人初一，文章可能缺乏嚴謹性，見諒。 4樓： 先放結論吧：
問題是在替換指數的時候出現的。 替換完指數變成 ，這一步無形中擴大了解集，因為這個方程本身無解，而 是有解的。 這個問題很容易理解，比如你解分式方程時消去了分母，這就有可能擴大解集，因為有的解可能會使原方程的分母為0。 但是避免這個問題也很容易，解完驗一下根，把不合理的解丟掉就好了。 我覺得大家不熟悉這種運算，沒辦法驗根，預設解出來的東西可靠，所以就自然相信了 同時等於2和4。 放一張圖說說這個 的無窮層迭代冪次（Tetration），Wikipedia上也有相關的內容：en.wikipedia.org/wiki/Tetration 如果你把無窮層迭代冪次看成乙個函式，在正實數範圍內，這個函式是有定義域和值域的，而且很巧，都和 有關：定義域是 ，值域是 ，而且這個函式單調遞增。 下面這張圖就是定義域兩端點的情況。自變數x如果比定義域下界小，函式迭代時會在多個值之間跳躍，不收斂；如果比上界大，函式迭代過程中，值會不斷增大，也不收斂。 2在值域裡，原方程有根 ；4不在裡面，所以無解。 就這樣，有問題再補充 :) 5樓：gzy622 答案就兩個字，值域。 x的x的x的x的x...次方，這個函式只是在某個定義域內才能收斂，才能等於乙個確定的數，而這個定義域所對應的值域並不是所有正整數。能取到2，但壓根取不到4。 蘋果 高中數學的話，解三次方程的方法就是先通過代入找到乙個整數根，再把這個根提取出來，就變成二次方程了。如果找不到整數根，八成是你方程寫錯了。檢查檢查。 紫信 3次方程是有求根公式的，後面2個是虛根，具體比較複雜，我也不太會，3次方程的求根公式涉及到虛數，必須先承認虛數的存在，那麼有些解才有意義，下... 馬致遠 這個數字來自於銀行，你把x理解成年份，每年往裡面存1 x的錢，N年後賬戶裡的錢是多少就是e。這個e是個無理數。那麼你也就懂了，是因為有了limx 0 1 x 的1 x次方。x趨向於正無窮 所以才有了e，這個式子就是e的定義。證明收斂，有答主提到了，我不會，你就看看別人的。 失落之城 經提醒，... 法國球 看看吧 這些都叫 1 x分之一的x次方 上面五個分別輸入為 1 1 x x，1 1 x x，1 1 x x，1 1 x x，1 x 1 x 就算你沒有公式編輯器，你用字元打出來的公式也得讓別人能直接看懂，而不是讓別人只能去瞎猜。 失落之城 你可以理解為一種拉扯 x很大的時候，1 1 x趨向於...x的三次方 6x的二次方 24 0，如何求x？
limx 0 1 x 的1 x次方為什麼等於e？
1 x分之一的x次方極限為什麼不是1？