1樓：巴茲巴茲巴茲
我來寫個超級簡單的辦法：題目沒說這些線交點的位置，所以只要它們的夾角滿足要求，交點在哪結論都不變。那就讓它們交在圓心上，立馬可得。
2樓：
想象乙個正球體，上面用線畫出來標準公尺字分割線。就是每條線都過圓心的那種。
只要變換角度，它可以擺成所有符合問題條件的圖案。
而實際上它就是乙個正球體的標準公尺字分割線線，不僅是面積，連體積都是等分割的。
有必要改下。上面應該是錯的，只提供一種思考方向。
球體變換視角其原本看上去的直線會變成有弧度的線。所以問題中的圖案是不能直接從球體上顯現，原圖案更可能是種投影。
需要把球體設定為透明，分割線不透明，要有個移動光源和乙個移動投影平面。當光源垂直於分割線照射時，其投影才是直線。
目前想這麼多，沒有實際實驗。
3樓：開心
如果交點沒有被固定，那麼是否可以固定在圓心？（類似有的題目的規律演算法區乙個值來確定所有值）
畢竟圓的對稱性的特殊決定了它可以這麼做。
4樓：絕對零
先把圓周一層層刮掉:每次取最外層dr厚度的圓環，紅藍都是180度，相等。
這樣交點就在圓周上了，然後極座標積分，或者說對弦長的平方積分，相差90度的是一組裡的，加起來正好是直徑的平方。然後積分區間紅藍都是180，相等。
5樓：暮光之城管
初中快解思路，圖不用畫也想得出來（其實是手機懶得畫圖，借其它答案圖也不太好）
設圓心為O，圓內4條線交點為P
首先結論：4條線有一條過圓心O則紅藍面積相等。
假設某種一般情況紅藍面積相等，使4條線繞P旋轉一微小角度a紅藍面積還相等，則根據數學歸納法，所有情況紅藍面積相等。
下證旋轉微小角度，紅藍面積仍相等，即藍色面積不變。當角度足夠小時，可以想象，藍色面積的改變量趨近於4個扇形面積減另4個扇形面積，8個扇形角度一樣，面積和邊長平方成正比。即證PA方+PB方+PC方+PD方=PE方+PF方+PG方+PH方（沒圖應該也看得懂）。
根據相交弦定理PA*PB=PC*PD=PE*PF=PG*PH
即證AB方+CD方=EF方+GH方
作OM垂直於AB，ON垂直於CD，設圓半徑為R，根據勾股定理，AB方+CD方=4（2*R方-OP方），只和P點位置有關，所以AB方+CD方=EF方+GH方證完
6樓：彼岸聽潮
寫個最直觀易懂的，知道投影面積S=s*cos(a)公式就行了。
考慮乙個空間三維球體，對其進行類似於籃球的表面面積八等分，分別交錯畫上藍色和紅色。
考慮某一面積微元，再考慮它相對於球心對稱過去的另一面積微元。兩個面積微元投影角必相等，可證明兩個面積微元投影面積相等。
進而可以證明：任意傾斜角的該球體的豎直投影中，上半球體的藍色部分投影面積等於下半球體的藍色部分投影，對於紅色部分同理。
另外可以證明，相同部分的顏色投影總面積是乙個球面面積。
結合上面兩個結論，自然就可以得出任意豎直投影中，紅色投影面積等於藍色投影面積，因為他們都等於球面面積的一半。
7樓：八里土人
開乙個腦洞。
這個圖看上去很像乙個紅藍相間的乙個籃球的平面投影。
對於乙個球，紅藍相間，球表面積上，紅藍面積相等。應該可以證明，只要視角包含了「極點」（南北極），球面大弧投影成直線，那麼平面上投影面積相等。
咋證明呢？俺老人家不會，俺就開個腦洞，期待數學專業大拿幫忙證明一下。
8樓：無奇之道
第一種：
若交點在圓心，則根據線段的對稱性，一定紅藍相等。
水平移動交點，並不改變對稱性，所以紅藍的比例有平移不變性第二種：
把影象看成群，從交點出發得到整個圓面積的操作為群G。
得到紅色區域的操作看成子群H， 那麼得到藍色區域的操作就是子群H的左陪集rH。
陪集平等分割群G
所以左陪集rH等於子群H，即紅區等於藍區
無奇之道：相對性在群論---群論的學與思 1相對性學
無奇之道：世人不懂道德經，竟因不懂這3個字
9樓：p01
你把這圖形3d化，問題就解決咯
舉個不嚴謹的例子，類似籃球，
想象一下，八瓣的球體，紅白交錯，分割線集中於乙個頂點就是圖中那個補丁無限小，然後你這樣擺，
反正你總會能令到那個頂點去到你要求的位置，然後每個分割夾角都是360/8=45度，符合了你題意，紅白面積相等。
隨意角度取剖面，展開紅白面積還是相等的。
10樓：劉志剛
有點懵。這還用想？還用列算式？
不就是交匯點在圓的內部不斷移動，所形成的紅藍面積問題麼。
只考慮兩個極限，即交匯點在圓心和交匯點在圓周上，這兩種情況都是面積相等，自然其他情況都面積相等。雖然這個兩邊取極限的想法很粗糙，但是一般情況對的概率極大。
11樓：德羅巴科夫斯基
我有乙個思路但無法寫出證明
如果在乙個球體上取任一點畫四條夾角45度的線，一定是八等分這個球體。就像籃球一樣。
然後把球體投影到平面上，感覺應該是可以得到紅籃面積一致的結果
12樓：
參照 @kuing 的建系方式補充乙個思路已知 所以
所以 同理可得
所以 注意到，當所有的邊繞原點 旋轉乙個微小的角度 ，藍色轉為紅色的部分的面積等於 ，藍色轉為紅色的部分的面積也等於
所以在轉動的過程中，藍色和紅色的面積一直保持不變因為當所有的邊轉過 的時候，藍色和紅色的部分完全對調，所以可以說明藍色和紅色部分的面積相等
13樓：
試著用特殊到一般的方法解了一下，能做。不得不感嘆圓確實是好東西，性質太完美了，因此奇妙的題層出不窮（笑）
以下內容均不超過初中課標要求。
1. 特殊情況，當其中一條弦為直徑時
圖1：特殊情況
由圓的對稱性：
2. 一般情況
一般情況下，四條弦均不過圓心。於是思考是否有辦法讓相間的四塊通過某種方法等價轉換成如 1 所述的特殊情況。
圖2：一般情況
過圓心作直徑 與距圓心較近的兩條弦中的一條 平行，與較近另一條 交點為 。
過 作分別與剩下兩條弦 和 平行的弦 。
上圖中 分別為各自所在曲邊四邊形、五邊形、三角形的面積。
由 1 中的特殊情況，我們知道：
原命題即為求證：
變換一下，即需證明：
把 式中每組括號內兩塊面積的重疊部分去掉，剩餘部分用 代替，即需證明：
將 化簡，即需證明：
注意到點 和點 ，點 和點 分別關於直徑 對稱，故由圓的對稱性：
即：將 代入 ，即需證明：
再變換一下，即需證明：
即需證明：
此時，分別過 ，向 ，過 ，，向 引垂線段 ， ， ， ：
圖3：一般情況（２）
由圓的對稱性可知：
由 可得，即需證明：
由於 是正方形，故：
將 代入 並化簡，即需證明：
由，即需證明：
其中，為夾角為（即）。
不妨隱去原圖中與 無關的圖形，並過 與 作 的垂線，分別與過圓心的直線 交於點 ，：
圖4：簡化後命題
則有：由 知，即需證明：
而由圓的對稱性（或者簡單全等也可證明圓心 到 與到 距離相同）可知， 成立。
故原命題成立。證畢。
14樓：Xipan Xiao
確實有不需要硬算且更一般的方法，只需要假定曲線光滑，且所圍的封閉區域有4條對稱軸：上下、左右、東北西南、西北東南。然後任取一內點 ，作平行於對稱軸的4條直線，把圖形分成8個區域，如下圖所示：
則有 。
證明可以通過割補來完成，初等而直接，但是線條較多，看起來比較亂。這裡提供乙個微積分的方法，思路很簡單，就是計算面積的變化率（偏導數），發現恒為 ，從而面積是常數。所以面積跟 在對稱中心時候的面積一樣，從而是總面積的一半。
設 的座標是 ，面積 是二元函式。它對 的偏導數由4個分量的偏導數組成。以第1個區域為例，當 以單位速度水平右移時，第1個區域面積的變化
。（上面的式子可以通過微元法看出來，也可以通過用含參變元的積分來計算面積，再使用「積分號內求導」的方法來計算偏導數）這樣總的偏導數就是這4個分量的和
。當 處於對稱中心時， 的值顯然為0。下面我們證明 也是個常數，從而 ，從而 是常數。
為此，繼續求 的偏導數，它由6個分量組成，以 為例，令 是東北方向的單位向量，且記 是（以 為引數的）曲線在 點的切向量：
這樣直線 上的分量就是
再由對稱性可得 ，上式的值是 （注意到 是水平方向單位向量， 是東北方向單位向量）。
類似的令 是西北方向的單位向量，另外兩項的值，
而最後兩項，令 是正北向的單位向量，。
這就得出 ，對 的偏導數類似，從而 ，這也就是 ，類似的得出對 的偏導數也恒為0。
15樓：
來幾個推廣。
目前是 8 個劃分，一樣
當劃分數 -> inf 時，顯然一樣
劃分數 == 2 時，不一樣。
所以在滿足什麼條件下相等（逃
奇數不能平分，不考慮。
16樓：kuing
不妨設圓半徑為 1，以線段交點為原點 O 建系使圓的方程為 ，設圓上的點的座標為 0" eeimg="1"/>，代入方程得到
解得如上圖，設 OA 的傾斜角為 ，則有
雖然積分式複雜但並不需要計算，因為 就是上式的 變為 ，即相加得那麼 就是上式的 變為 ，即
所以 ，也就是圓面積的一半。
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