1樓：無解雙八卦
是。有些時候數學歸納法在簡單地證明結論的同時，讓你繞過了很多東西，不利於抓住問題的本質，或去解決新的問題。主要針對那些第一眼看上去莫名其妙的結論。
不過如果你能從別的途徑知道結論是怎麼來的，數學歸納法就沒什麼壞處了。
2樓：
當歸納法被束縛在乙個系統（框架）內時，歸納法就會存在一定侷限性，很多人很天真以為《集合論》書本裡用歸納法就能把所有自然數構造出來，歸納法在系統內的侷限性是會導致很多自然數在該系統內無法構造出來，而且這些自然數還在該系統內部，這個在擴大的系統裡會發現存在這種現象，這如果是應用層面的系統要特別注意。
3樓：林中天
題主說 "而數學歸納法就很難聯絡到其它的分析和定理。"
其實可以把數學歸納法當做乙個啟發式方法用，用下面的問題簡單舉例：
Q: 對於所有的0" eeimg="1"/>，證明可以被整除顯然法：
顯然 ，於是命題得證。
用數學歸納法的證明：
令 表示 可以被6整除。
對 有假設 成立。需要證明 同樣成立：
前面假設了 可以被6整除，所以等式右邊可以被6整除。根據數學歸納法，命題得證。
這裡數學歸納法啟示了我們應該如何做變形：
令 ，有 ，我們列出 從小到大的值：
提示了我們可以使用等比數列求和的方式，像顯然法那樣給出直接結果。
個人理解，數學歸納法使用的遞推關係中其實蘊含了問題比較深刻的本質，拿它解決問題就像坐直達山頂的纜車，而其他方法容易更看到山頂周圍的風景。所以給上面這個例子：如果想多看些風光，有時候我們可以提前下車：）
4樓：knowone
你是不從來沒有見過中學的老師給你寫過數學歸納法本身的證明？如果你懷疑過為什麼數學歸納法是對的，進而去探尋他的本質，那麼恭喜你，你已經觸及了「自然數」真正的核心：
自然數是用Peano公理定義的系統。
覺得它「流氓」可能就是因為要用到的東西太多了？明明是對所有整環/全序集blabla都成立的性質，如果對於整數的特殊情況用了數學歸納法這種自然數的特殊性質，那這個證明在某種意義上確實「不好」，抽象程度不夠。當然要是一般情況是錯的或者暫時想不到證明或者完全沒有意義，那作乙個特殊情況的證明總比沒有好咯。
5樓：charlary
就像很多答案說的，最根本的一點是人類的認知能力是有限的，得到的經驗也是有限的，那麼如何去得到無限的東西，和無限的性質？數學歸納法是初等數學裡面唯一的能夠打通有限和無限的方法。
到了高等數學裡面，如何從有限推到無限的性質仍然是乙個重要的基本問題，現代數學用的ε語言和判定極限最常用的夾逼定理，根本性上來講和數學歸納法大同小異（有的甚至就是用數學歸納法證明的）。
另外這種「流氓」方法其實並不是完美的，有些時候還會有漏洞，乙個主要的漏洞就是級數的不可交換（有限的交換律在無限時不成立），進而衍生出重整化問題等數學物理裡面很關鍵的問題。
6樓：
不知道題主說的「流氓」是什麼意思。
是因為通常用到數學歸納法的時候，都是少了推導的過程，直接「毫無原因」地丟擲乙個結論，然後用數學歸納法證明？
如果是這個原因的話，數學歸納法不背這個鍋，就算不用數學歸納法用別的證明方法，同樣是少了推導過程，很「流氓」。
是因為數學歸納法能實施的條件有一條是n=1正確但很多時候n=1是否正確對結論影響並不是特別大？
那麼不好意思，有的時候n=1的情形對整個結論的影響很大。比如看這個例子：
數列an滿足a1=1，a(n+1)=an/2+1，證明an<2。
當然這個例子還算簡單，an的通項公式比較容易算出來。這個數列有什麼特點呢？遞推式不變，僅改變a1，數列的性質變化很大。
這裡給的a1=1，那麼數列將是遞增，並無限靠近2的。如果a1=2，那數列就恒為2。如果a1給了個大於2的數呢？就是遞減，無限靠近2的。
7樓：呼呦
首先呢，數學歸納法這個方法本身是能夠被嚴格的證明的。
數學歸納法確實是很強大，有很多證明，用數學歸納法去做，是非常巧妙且方便快速的。
如果讓我給出乙個擬人化的評價，我會說:數學歸納法確實有著一點點"暴力美學"的意味，但是它更應該被認為是人類的福音。
如果你認為它流氓，那麼被大家廣泛使用的一元二次方程求根公式，是不是更是流氓呢？
8樓：執悲今厄
數學歸納法是射線型分類的第三階的嚴格描述。在我未接觸數學歸納法之前，我曾將它稱為『同標準遞推法』，後來才知道早有人研究過它了、前人將它稱為數學歸納法。
同標準遞推法（數學歸納法）是資訊處理有且僅有的二十七個一階方法之一。
不理性者喜歡高階方法，不喜歡一階方法。這就是你牴觸數學歸納法的原因。
9樓：Chapter 0
其他答主的答案已經非常棒了，我也簡單談一下自己的看法。不過我的數學知識十分有限，只能用計算機本科生水平的知識粗淺地說一下我對數學歸納法的理解，更偏重形象化，並不嚴謹，因為我對於數學歸納法背後的哲學或者邏輯學概念其實不是很懂，這方面還需要知乎的高人來回答。
數學歸納法的神奇之處其實是和自然數這個概念密不可分的，要想定義什麼是數學歸納法，首先要弄清楚什麼是自然數。
一眼看過來，什麼是自然數還用問？1，2，3，4……這樣一直數下去的所有數構成的集合就是自然數集合。那問題是我們並沒有辦法一直數下去，也沒有辦法把整個自然數集合寫在一張無限大的紙上，所以就需要一點別的辦法來定義自然數。
比如我們可以定義自然數的生成規則。
自然數的生成規則非常簡單，只有兩條：
0是自然數
如果乙個數是自然數，那麼它的「後繼」也是自然數。
對於第二條規則，如果n是自然數，那麼我們可以用n'來表示它的「後繼」。
用以上兩條規則，我們就可以得到0，0『， 0』『， 0』『』，一直無限生成下去。
這裡，我們可以規定，0'可以書寫為1，0''可以書寫為2，以此類推。
那麼生成到什麼時候為止呢？
我們知道，這個生成過程是永遠無法停止的，那是不是說我們就永遠也無法定義自然數這個集合？
所以這裡就遇到了第乙個問題，存在性的問題：
是否存在這樣乙個集合N，使得運用以上兩條生成規則後得到的新元素仍然在該集合中？
對於這個存在性問題，我實在了解比較少，印象中也許羅素或者Tarski或者其他人可能分析過這個問題。在這裡，我們直接認為這樣的集合N是存在的。
似乎我們已經迫不及待地要說這個集合N就是自然數集合了，其實並非如此。
因為滿足該定義的集合不止乙個（假裝驚訝）。
除了大家理解的自然數集合滿足這個定義之外，我們還可以找到另乙個集合也滿足該定義。
這個特殊的集合（我們稱之為N『）除了包含所有的自然數之外，還包含乙個特殊的元素 ，這個元素的特點是，它的後繼是它自己。
也就是說 。
這其實很符合我們對「無限」的樸素理解：乙個無限長的繩子加長一小段還是無限長。
我們可以發現，這個集合N『也滿足「運用以上兩條生成規則後得到的新元素仍然在該集合中」的定義。
所以問題來了，N和N『誰才是真正的自然數集合？ 是自然數嗎？
這裡我們直接給出答案，那就是 不是自然數。
為了把這個特殊的元素從自然數集合的定義裡踢出去，我們將自然數集合的定義修正為：
自然數集合是運用以上兩條生成規則得到的最小不動點集合。
這裡，不動點指的是運用生成規則後生成的新元素仍然在集合內。
最小指的是也許會有多個不動點集合滿足定義，我們取最小的乙個，也就是它是所有滿足條件的集合的子集。顯然，我們一般認為的自然數集合是N『的子集。
可是，現在又遇到存在性問題了，這個最小不動點集合存在嗎？
會不會存在兩個集合，他們都是最小的集合，而且互相都有對方沒有的元素？
我們依然跳過這個問題（因為其實不是很懂如何證明，逃），認為這個最小不動點是存在的，並且也是唯一的，這個集合就是自然數集合。
當我們弄清楚自然數是如何定義的時候，我們發現數學歸納法其實就是自然數的生成規則的翻版，只不過把生成自然數變成了研究自然數是否具有某種性質（也就是我們想要證明的定理）。
更玄學一點地說，其實數學歸納法和自然數的定義是對稱的：
自然數的定義裡，我們有兩條規則可以用，要麼用規則1，要麼用規則2，這是「或」的關係，得到的是「特殊」（也就是每個獨一無二的自然數）。
數學歸納法裡，我們所要證明的性質必須同時滿足規則1和規則2，這是「且」的關係，得到的是「一般」（也就是對任何自然數都成立的普遍性質）。
這方面我的理解不是很深刻，就不多說了。
然後有人會問，研究這些問題有什麼用？誰家的自然數裡會有 ？這只是無聊的數學家們搞出來的抽象概念。
非也，作為乙個學計算機出身的人，我們天天要和 打交道。
如果對計算機有所了解，大家其實可以發現，自然數的定義和我們對「鍊錶」的定義是相似的。
我們可以這樣定義乙個單向鍊錶：
空煉表是乙個單向鍊錶；
如果L是乙個單向鍊錶，那把乙個新節點的next指標指向L我們可以得到乙個新的單向鍊錶。
單看這個定義我們幾乎就可以把單向鍊錶的程式寫出來了。甚至我們還可以定義單向鍊錶的「長度」，也就是該鍊錶含有的節點的個數，我們會發現鍊錶的長度是自然數。
然而 的問題冷不丁地從這個定義裡出來了。
如果我們有乙個神奇的，他的next是他自己， 是鍊錶嗎？（可以注意到 和 的定義是完全類似的）
或者說，鍊錶這個型別應不應該包括 ？如果應該包括，它的長度是自然數嗎？
哦吼，完蛋。
作為乙個C程式設計師，我們肯定會認為 也是鍊錶，因為我們可以輕鬆構造這樣乙個struct，讓它的next指向它自己。於是我們不得不面臨這樣乙個問題，那就是鍊錶長度函式list_size對於這個輸入會返回什麼，其實是不清楚的。更有可能的情況，是根本不會返回任何資料，程式直接進入死迴圈。
類似的問題其實有很多，不單單出現在數學裡，也出現在計算機裡，而這些問題背後的原因，其實就掩藏在這些概念的定義後面。
前面提到的自然數定義中，有「最小不動點集合」這個概念，那麼有沒有「最大不動點集合」呢？
答案是有的。
這裡我們可以定義N『是滿足自然數生成規則的最大不動點集合。我們可以發現，N』其實就是N加上 。
在數學裡，一般如果我們有乙個概念，那麼與之相對的概念一般就叫做 什麼，比如說我們有「最小不動點集合」自然數 ，這個「最大不動點集合」就叫做 。自然數集合有歸納法 ，對應著 就有 。
在自然數的定義中，我們關心的是乙個自然數是如何被構造出來的；而對於 ，我們關心的是它是如何被「解構」的。
換句話說，如果給乙個 ，我們就可以知道要麼它是0，要麼它的「前繼「還是乙個 。
在這裡 毫無疑問是乙個 ，因為它滿足這個解構規則——它前繼還是 。至於 是如何被「構造」的，它的前繼的前繼的前繼的前繼一直進行下去是否會得到0，這些都並不是我們關心的問題。
有人會問了， 有什麼用呢？
我們還是在計算機的領域理解一下這個問題。
我們知道的是， 在計算機中和鍊錶 （排除了無限長鍊表的特殊情況，只考慮「好」的鍊錶）有著奇妙的對應關係，那麼自然地，我們就可以把 擴充套件到計算機世界中，得到乙個新的資料結構 。
和 不同， 是由它的「解構」方法定義的：
只要給乙個 ，我們就可以確定，要麼它是空的（對應0這個概念），要麼它可以拆分成兩部分：乙個元素和另乙個 。
在這裡， 就像乙個神奇的機器，你預先並不知道它有哪些元素，但是只要你踹他一腳，要麼它會告訴你它已經空了，要麼它會吐出乙個元素出來並進入乙個新的狀態（此處盜用了Bob Harper的奇妙比喻）。
你可以不停地踹它，要麼它會吐出有限個元素後停止，要麼它會一直吐出新的元素直到永遠。
這個 在有些語言中被稱作generator，在有些語言中被稱作stream，但其實都是同乙個東西。
對應著，我們發現 的長度是 ，而 的長度就是 。
數學歸納法在邏輯上屬於演繹論證，還是歸納論證？
歸納法是這樣一種推理，由特殊到一般的過程，如果多個個體具備某個屬性，則推理出整體就具備某個屬性。這種推理的缺陷是不一定可以遍歷整體中所有的個體，所以按完備性來分類的話有兩種 完全歸納法和不完全歸納法。數學歸納法的基本方法是已知首項，並且可以證明任意相鄰兩項如果前項滿足某屬性，則後項就滿足某屬性，這樣...
高中數學歸納法的原理是什麼？
皓墨 Peano公理，這是常規高中生可以去試著了解一下的。大學初等數論課應該有教。再往深了說會扯到代數學，先不提。簡單的理解就是一成立推出二成立，二成立推出三成立，三成立推出四成立 因為自然數有唯一的從小到大一排順序，所以可以推出這一排都成立。 阿昇 Peano公理 不過大家都講這叫多公尺諾骨牌，你...
為什麼我會感覺用數學歸納法證明很low？而用其他證明方法就顯得很高大上？
翟瑜傑 高中的歸納法要簡單得多，卓裡奇數分第二章就已經反覆用數學歸納法，不斷取定新的集合E 滿足性質的集合 要比構造法巧妙得多。 自旋貓 數學歸納法的確很難給讀者一種 Wow,it must be that 的驚喜感。數學歸納法隱藏著乙個要求 你的歸納方法真的遍歷了所有的元素嗎？反證法同樣隱藏著乙個...