1樓：
我也把我的理解貼在這.如有錯誤，還請指正。
令 表示乙個自然數， 表示與任意自然數 有關的性質。假設對於每乙個 , 我們由如下的蘊含邏輯：若在自然數範圍內有 為真，其中 那麼 也為真。
於是我們能夠斷定，對於任意滿足 的自然數 , 也為真。
在應用強歸納法原理的時候，我們通常令 , 或者 .
考慮 的情況，此時 不存在，即 " " 的真值為0，蘊含式 " " 的真值必定為1（空虛地真 ）。
把 代入 中
有： 若假設該蘊含式為真，由於蘊含式的前件" "為真，則後件" "必定也為真。也即強歸納法的歸納步驟中已經蘊含了 .
強歸納法原理的證明（利用第一歸納法）
定義 是乙個關於 的如下性質： 對任意滿足 的
為真。即：
也即 是上述蘊含式
中，前件的結論。
通過定義 ,我們可以將強歸納法原理寫成如下形式： （若 為真， 必定也為真。）
我們要證明，對任意大於等於 的自然數， 恆真。
考慮 當 時，此時不存在滿足 的自然數 使得 為真， 故蘊含命題 的結論為真（空虛地真）。
當 m_0 \" eeimg="1"/>時，假設 成立，則此時 也為真。我們想證明 成立，
即要證明 成立 。由於 成立,自然 也成立，並且我們已經假設 也成立，蘊含式的前件後件都為真， 自然也為真。
2樓：
@Yuhang Liu 講了命題中帶括號內容的理解。這裡直接回答題主的問題：
如果定理中給定的 對於所有的 （ 為自然數）都不成立（例如， 為無理數），那麼這個定理是否仍為真？
回答是肯定的。
題中的那個「邏輯表示式」少了量詞，是有問題的。(後面貼的那個分享的手寫的「證明」也沒有量詞，是錯的。)這裡重寫。記
那麼定理可以表示為。嚴格地講，應該寫成
假設 對所有的 都是假的。要證明 成立只需要證明 為假，即
現在只需要注意到 為真，但 為假（因為 真， 假），所以 為假。證畢。
當然，也可以不需要這一堆符號的演算，一句話就可以證明。只需要重讀括號裡面的內容：定理的假設要求 為真。若 為假，定理自然成立。
3樓：Yuhang Liu
題主的問題是：「如果對於任意m>=m0，P(m)都假的話，以上那個有？的蘊含關係就是假的了」。
事實上這裡面看上去有個問題：這個歸納法似乎沒有初始條件： 到底對不對？
我們首先要知道 是對的，然後才能往下歸納。然而這個歸納法的條件實際蘊含了 。為什麼呢？
因為，它的假設是：「如果 對任何 成立，那麼 成立」；取 的時候，不存在這樣的 ；然而，邏輯學裡面說，假的前件推出任何結論；所以「［對任何 ， ］推出 」這件事情對 仍然成立，所以 。所以我們有了歸納的初始條件，所以我們可以開始歸納，over。
當然我承認這裡不把初始條件明確寫出來確實對初學者來說容易造成誤解，但是他那個命題邏輯上仍然是對的。
4樓：ly530408
這些問題的回答中都缺少了對核心問題本質的揭示，數學歸納法的核心是序關係，特別是整數集的序關係的構造才能更深刻的即使事物的本質。
5樓：
強歸納法，普通歸納法，well-ordering property這3者都是等價的。
用well-ordering property證明：
（從 推導出 。）
假設存在一些大於等於 的且不具有性質P的自然數 。那麼所有這些數構成的集合S是非空集。那麼S中存在乙個最小元素t。
那麼所有大於等於 並且比t還小的自然數不屬於S（具有性質P）。那麼由給出條件可以推出P(t)成立。這與t屬於S相矛盾。
用普通歸納法證明：
定義乙個性質Q(n) := 「對於所有 ，P(m)成立」。顯然Q(m_0)成立（不可能同時滿足既大於等於又小於 。
前提始終為假）。然後假設Q(n)成立，換句話說就是「對於所有 ，P(m)成立」。那麼由給出條件可推出P(n)成立。
那麼「對於所有 ，P(m)成立」。這相當於在說「Q(n+1)」。於是我們有Q(m_0)和Q(n) Q(n+1)，用普通歸納法可得「 」。
所以性質P對於所有大於等於 的自然數都成立。
6樓：
我對另乙個問題的回答，貼過來：
沒有什麼強歸納法和普通歸納法，普通歸納法就能保證每個自然數n都成立。
你所謂的強歸納法，只不過是證明過程中需要不只前一項，比如斐波那契數列（遞迴式包括前兩項），根據需要而做的假設而已。
當然為了放心，做了多的假設，驗證初始項時，不妨多驗證幾項，保證歸納的前提是正確的就可以了。
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