1樓：來自高山
圖1 題主所問問題
題主所問的問題，如圖1所示。
【讀書筆記】Peano公理（為什麼「數學歸納法」是正確的？為什麼「數學歸納法」可以那麼用？）_u25th_engineer的部落格-CSDN部落格
圖2 Peano公理
2樓：
這個東西對高中生來說確實是說不清楚的，只能從簡單例子去直觀地理解，下面看看這個例子。
例題1：已知 和(n是任意自然數)。那麼， 的通項公式是什麼？
題目條件已經給出： ；
由於 ，，當n=1時，有；
由於 ，，當n=2時，有；
由於 ，，當n=3時，有；
依次，我們可以得出： 。
如果把上面的解法用數學歸納法表達出來，就是：
(i)當n=1時，
(ii)假設n=k時， ，那麼當n=k+1時， 。
因此，對任意乙個自然數n，都有 。
3樓：
不知道這樣解釋是否妥當。
先看一下第一類歸納法：
（1）驗證n＝1時，命題成立;
（2）假設n＝k時，命題成立;
（3）證明n＝k＋1時，命題成立，則命題對任意正整數n成立.
我們不妨將一系列有規律的事件看成乙個線性的「事件軸」。
為什麼看作線性的呢？因為乙個有規律的事件集無論事件集內的事件變化有多複雜，它們的最終走向都是乙個結果。從巨集觀來看，這一系列有規律的事件整體就是線性的。
在該系列事件中我們確定觀察到了乙個事件屬於該事件軸，那麼我們就可以定下這個事件發生點。
接著，我們可以假設乙個符合該規律的事件出現在這個事件軸上，兩點一線，那麼現在我們就可以畫出一條事件軸。
最後，我們當然就是要來判斷以假設出來的事件所確定的事件軸為我們所要的事件軸。可以看成以確定事件為「事件軸缺口」，以假設事件為「事件軸準星」，向「事件靶」待證事件進行「射擊」，若「命中」（待證事件成立），則說明該"準星"符合要求，那麼所設事件軸與原事件軸相符，證畢。
4樓：
因為所以科學道理。
老師給你講的，課本上寫的，還會是錯的嗎？
就算是錯的考的就是這個。
不需要證明，考試也不考證明，不用瞎想，浪費時間精力。
5樓：
數學歸納法
1。p1成立，
2。pk成立蘊含p（k+1）成立
1和2成立，蘊含任何n，pn成立。
其中第二步是要你去證明的。就像你說p1成立是需要驗證的一樣。
第一步n=1時，你驗證p1成立；
第二步n=k時，你證明p（k+1）成立。
其中2是演繹邏輯，演繹只能保證蘊含關係成立，不保證現實為真，即理性主義。
而第一步驗證，是經驗主義，經驗主義，相當於是小前提，第二步是大前提，結論是三段論給出的。
數學歸納法，應該叫數學歸演法。
因為第二步是蘊含，即命題邏輯，
第一步是小前提，第二步是被演繹證明的大前提，通過多次三段論的結果，完全歸納出了結論！
6樓：耶穌的復活
自然數的皮亞諾式定義中的一點就是「乙個符合數學歸納法的數集」(除了這一點外還有四點)；所以對於皮亞諾式自然數，數學歸納法按照自然數的定義(par définition)對於自然數有效。
希爾伯特繼承了這種公理化思路，本質上的套路就是讓物件詞和關係詞的意義服務於命題的真，為了命題的必然為真而把命題中的物件概念和關係概念抽象化，直接用命題的真來定義命題中的所有概念。
然！而！ 皮亞諾之前並不是沒有數學，而在那個漫長的無皮亞諾狀態下，你的問題的確無法被解答。誰能告訴我，如果只用皮亞諾公設前四條來定義自然數，他怎麼證明數學歸納法？！
7樓：
要不我們先承認至少存在乙個歸納集（就是那種空集是它的元素，如果a是，那麼a的後繼也是），交集引理定義最小歸納集（自然數集）
若A是自然數子集且A是歸納集，那麼A就是自然數集合最後歸納原理也叫歸納法吧！
第二歸納法，要不假設0是自然數吧（其實…）Pp-->q
結論就是q
自然數最小數原理保證p是永真的（重言式），而我們只要求有（構造出來的）蘊含式子，
結論q一定是真的
證明呢，反證法…
8樓：
看完前兩課就明白了吧。
數學歸納法是個公理(Induction axiom)，證明不了。我們預設數學歸納法就是對的。
9樓：戴鵬程
看到很多答案都提到數學歸納法是一種遞迴的證明的理解思路。這樣理解是沒問題的。
但是從嚴格的數學角度來說，數學歸納法是乙個嚴格的數學定理，注意不是公理。它是可以在集合論的一系列公理下被證明的。
自然數集上的第一數學歸納法即如下定理：
定理（第一數學歸納法）：乙個與自然數（整數）n有關的命題P（n），如果滿足P（0）（P（1））成立，並且有P（n）→P（n+1）。那麼對於任意n，P（n）成立。
證明：反證法，假設上述定理不正確，即
A= 非空。
由於A是自然數集的非空子集，並且自然數集是良序的，故A有最小元素a∈A（a≠0），並且a－1A。
由A的定義，P(a)不成立而P(a－1)成立，這與條件P(n－1)→P(n)矛盾，原定理得證。
數學歸納法無論從定義和證明上都是嚴格描述的命題，與歸納和遞迴無關，所謂歸納只是一種理解方式而已。
數學歸納法也有很多種，高中所學的上述定理稱為自然數集上的第一類數學歸納法，除此之外還有第二數學歸納法和一系列超限歸納法。特別要指出的是，其中超限歸納法的證明是依賴於良序定理（即依賴於選擇公理）的。
10樓：艾爾雞不辣
數學歸納法成立是根據最小自然數原理來的，預設任何乙個非空自然數集合都有乙個最小的數。然後我們再根據反證法，假設數學歸納法不成立，那麼一定存在乙個最小反例S(n)，由於S(1)成立，則n≥2。同時由於S(n)是最小反例，則必有S(n－1)成立，而根據條件此時必有S(n)成立，於是匯出矛盾，所以原先的數學歸納法成立。
11樓：
打乙個不恰當的比方，自行車車棚裡停滿了自行車，你證明了可以推到第1輛自行車，又證明了第n輛自行車倒下可以引起第n＋1輛車倒下，所以你一推所有車都倒了
12樓：Belleve
從 CiC 角度看每個可以歸納的型別都自帶乙個上圖畫風的玩意兒（不動點算符），歸納法就是利用這個東西定義遞迴函式/歸納性證明而已。和 General recursion 相比使用不動點算符可以保證 totality，即證明的正確性。
13樓：法國球
第一步：良序原理在自然數集上的乙個推論說的是，自然數的非空子集有最小元
第二步：假設在歸納法條件下，使得命題不成立的自然數集合是U第三步：若U是空集，則證明完畢
第四步：若U不是空集，則U有最小元u，由條件知u≠1，那麼u-1U，那麼uU，導致矛盾
14樓：看花的少年
在讀高中的時候，我就覺得這個數學歸納法太厲害了，遇到不會做的證明題，只要祭出這一大殺器就沒有問題了。 當時就這個疑問，為什麼只需要證明這兩點就可以了呢？但是沒有深究過，今天看到了題主的問題，仔細思考了一下，覺得可以如下解釋。
因為個人水平有限可能有回答不準確的地方，還請指出來，也希望以下的解釋能夠解決題主的疑惑。
所謂的數學歸納法是指，如果乙個定理對於任意的正整數都成立，那麼我們只需要證明兩點就可以了：
該定理對成立；
如果該定理對成立，那麼對也成立。
如果我們能夠窮舉出所有的正整數， 證明它對於每乙個正整數命題都成立，那麼就證明了這個命題對於任意的正整數都成立。而實際上正整數的個數是無限多的，我們不可能窮舉之。
我們把正整數集劃分為和兩個子集， 其中是由使命題成立的正整數構成的集合，而則是不能使命題成立的正整數集合，顯然有。我們只需要證明或者，即可。
對於數學歸納法中使待證命題成立的第乙個條件，我們有。根據第二個條件，我們可以很容易證明。 這就得到了乙個集合即。顯然，集合是的乙個子集，即。
現在構建乙個集合 k \right\}" eeimg="1"/>，顯然滿足。對於中的每乙個元素，都可以根據第二個條件證明。所以也是的乙個子集。
那麼我們就證明了，即。又因為，所以。
因此，只要證明了數學歸納法的兩個條件，我們就可以證明命題對任意正整數都成立。
15樓：
樓上都太專業了。題主只是個高中生，剛剛上新課，一時沒理解過來數學歸納法的演繹邏輯。我覺得題主只不過想得到乙個情感上接受數學歸納法的感性邏輯，而不是天書一樣的底層的公理體系。
其實按照高中階段的要求，把數學歸納法的邏輯認為是顯然正確的就可以了！
事件a：1號同學是對的。
事件b：如果n號同學是對的，那麼n+1號同學也是對的。
對於上面這兩句話，如果這兩句都是成立的。那麼會怎樣呢？因為1對所以2對；於是因為2對所以3對；因為3對所以4對……於是就知道了不管來了多少個同學，反正你們總都是對的（你們開心就好- -）
注意！注意上面這段邏輯中的「如果」。得出「同學們都是對的」這個結論的前提條件是事件a和事件b都是正確的，這兩件事情必須先確定才能進行後面的數學歸納。
16樓：睡不醒
維基百科上有解釋。
就像多公尺諾骨牌：你先證明第一塊你能推倒，
再證明n+1塊你也能推倒，就像傳導一樣，n=1時，第2塊就會倒，n=2時，第3塊就會倒，傳導下去，所有的都會倒，
所以按照這個邏輯你可以把整個多公尺諾都推倒。
我解釋的比較簡單 ，你自己去維基百科看看
17樓：Neo Conan
在書上看到乙個簡潔的證明，需要用到上面提到的「最小數原理——自然數集的任一非空子集必有乙個最小數」，最小數原理我覺得是比較直觀的，隨便取自然數的乙個非空子集，肯定有乙個最小的元素。
歸納法：
設是乙個與自然數有關的命題，如果：
1°成立；
2°設成立，則成立；
那麼對所有自然數都成立.
下面用反證法證明歸納法的正確性：
如果P（n）不成立，且令S是P（n）為假的n的集合，S是非空集合，則根據最小數原理，S中必然存在最小元素，記為s,根據歸納法的第乙個條件，P(1)是成立的，s1。又根據集合S的定義，P（s-1）是成立的（因為如果P（s-1）不成立，則s不是S的最小元素），此時根據第二個條件，P（s-1+1）成立，則sS，這就出現了矛盾，因此，歸納法是正確的。
為什麼我會感覺用數學歸納法證明很low？而用其他證明方法就顯得很高大上？
翟瑜傑 高中的歸納法要簡單得多，卓裡奇數分第二章就已經反覆用數學歸納法，不斷取定新的集合E 滿足性質的集合 要比構造法巧妙得多。 自旋貓 數學歸納法的確很難給讀者一種 Wow,it must be that 的驚喜感。數學歸納法隱藏著乙個要求 你的歸納方法真的遍歷了所有的元素嗎？反證法同樣隱藏著乙個...
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