1樓：weimiao
如果你是問能什麼數學研究的話，那任何一門數學課的課內知識都不夠。
如果你問能做什麼其他領域的研究的話，泛函分析關於線性運算元的內容其實就是infinite dimensional linear algebra，這在各類工科領域的應用就太多了…
2樓：
如果你學完了國內的本科泛函分析，講的還是太少，有的連緊運算元譜理論都不講。建議你讀讀Rudin的泛函分析，這個讀完，才算了解泛函了。除了大家都說的pde，你馬上可以學
1 抽象調和分析區域性緊群上的分析
2 解析數論自守形式譜理論
3樓：hushun
Functional Analysis is really something about Linear Algebra in infinite dimensions
4樓：AfterPhilosophy
入學之前和老闆聊天，就談到本科泛函分析學的東西容易忘的問題，事實上在後續研究中很多時候還是要用實分析的方法去做，泛函分析只是提供了乙個視角。泛函分析其實應該叫運算元理論，運算元大致上可以認為是函式空間到函式空間上的對映，而泛函是一類特殊的運算元，它是到數域上的運算元。
正如其他答主所說，學完泛函可以開始學PDE，事實上學了PDE才能更好的理解泛函，典型的比如說在考慮PDE弱解存在性的時候，我們大約可以走三條道路：Riesz表示，Hahn-Banach延拓，以及所謂的直接方法。最後一條道路是張恭慶變分學講義主要考慮的問題之一，它是把ode和pde的求解問題轉化為變分問題，也即求乙個泛函的極小值點。
按通常的做法我們會取一列極小化序列，我們需要證明極小化序列有收斂子列，並且收斂到極小值，這顯然對泛函本身的連續性，極小化序列的 (弱) 列緊性都有要求。這裡推薦陳恕行老師的書：
以及以泛函分析 (可分 Hilbert 空間上的自伴運算元) 為基礎的量子理論：
在學完基礎的泛函分析之後，如果想要繼續深入，大致有這麼幾個方向：運算元代數、非交換幾何、數學物理。比如我的舍友就學了運算元，他們研究的是單位復圓盤上有界解析函式的 Banach 空間，主要是其上的代數結構，僅僅是這麼乙個物件就可以做非常多而深刻的研究。
此外，人工智慧方面更多的是利用有再生核的 Hilbert 空間。
5樓：uhometitanic
實分析：很多實分析中的定理都需要泛函分析的知識才能明白它們的意義，比如 和 上的Riesz representation定理
概率論：Convergence in distribution其實就是泛函分析中的weak* convergence，明白了這點後中心極限定理就是手到拿來
傅利葉分析：單獨學傅利葉的話會覺得很零散，但用泛函分析的角度看的話一切都變得很有脈絡，比如「每個square-integrable函式都可以用傅利葉級數表示」，這只不過是因為三角函式是 這個Hilbert space的complete orthonormal basis而已
最優化：這方面我不是很熟，但據我所知很多最優化問題用泛函分析的角度看的話，很容易就能得出一些數值方法，比如fixed-point method就是Banach contraction而已
微分方程、積分方程：這個不用多說了，歷史上泛函分析本來就是為了解決微分方程和積分方程應運而生的，distribution theory和Sobolev space了解一下
6樓：微塵-黃含馳
」②計算電磁學(……)!計算電磁學中的各種泛函解法如下~計算電磁學中各種泛函解法的詳細分析請見：
7樓：Initialmind
可以從就只能一條線思考，死磕到底，很多事情往往做了n次也不明白；比如10步的事情前三步就要做兩遍，或者只知道看10步卻不知道真正影響10步的有時遠不在10步本身，或者和10步若即若離，平衡點撲朔迷離讓他們暈頭轉向，導致浪費很多時間和精力甚至感情，一輩子都會可能會被某些大道理束縛「單線動物」變成乙個能察覺到萬物皆可有不同的路徑和方法轉變，皆可通過分析不同的角度和量度找到最適合某狀態自己的接受角度和量度，最優化自身某些時刻的某些狀態多角度結合對該事情的各方面處理效率，追求可能性，不斷的改變（哪怕會錯），追求解決問題的人。
萬物皆是相對的，知道的越多也可能陷的越死，所以只能不斷的學，不斷的問自己為什麼，就是學習的意義。
沒有學識的人才會傾向於大道理，語言某些角度是很脆弱，很基礎的思考形式，很多語言概括不了的思維只有這些前沿學術才有，少說多思考有時是最好的方法。
哈哈，加油，好好學，早日脫離「單線動物」
8樓：
本科學完張恭慶上冊之後的感覺……感覺唯一用上的地方也就是做做課後習題了，抽象的東西想太多真的累人，至於下冊基礎數學專業的研究生才會開課。
另外泛函分析目前學術界應該處於乙個停滯期，沒什麼突破性的研究出來，熱度不高倒是真的。
9樓：
作為乙個民科，也學了學泛函分析與實變函式，包括Banach、Hilbert空間、Lebsgue測度與積分、等等這些東西、學完後如果經歷了一次哲學之旅，收穫很大。
感覺以前很多的東西一下子就融匯貫通了的感覺，特別是對於理解矩陣分析的知識。
但是發現學完之後還是不能幹啥時期，可能對於理解一些東西比較好。
感覺PDE、泛函分析、矩陣分析這些東西要一起看。
10樓：不連續的存在
我校分析課程設定理論上還是很漂亮的，實變—泛函—現代PDE一氣呵成，然而實際上由於老師不同講的效果自然也不一樣。Brezis有一本書叫《泛函分析，索伯列夫空間與偏微分方程》就是按照這樣乙個思路。泛函學完之後接觸一些PDE可能會讓你認識到這門課還是有一定重要性的。
然而我覺得泛函分析本身也有非常優美的內容，主要體現在Banach代數的理論上。雖然不知道有什麼用但是推薦學一下。（這裡不展開介紹了）
11樓：
我是因為機器學習才去學泛函的，題主如果想蹭一波熱潮的話，一些核方法模型比如：高斯過程，reproducing hibert kernel space，都是現在比較前沿並且有很好發展的一些話題。
12樓：包子
泛函分析在很多數學分支中都非常有用。比如在偏微分方程中，證明二階線性橢圓型方程弱解的存在性，就可以用泛函分析中的 Lax-Milgram 定理，能容易就能得到結論。比如在差分方法中，用共鳴定理可以直接推出非常重要的 Lax 等價定理。
比如在漸進分析中，Fredholm 二擇一定理對理解可解性條件非常關鍵。這樣的例子太多了。
另外，泛函分析是我學過的數學裡面覺得最漂亮的學科，結論都很乾淨簡潔。北大張恭慶的教材就很不錯，裡面有很多泛函分析在不同問題中的應用，高階可以看 Lax 的教材。
學隨機分析需要把實分析和泛函學的很深嗎
實分析其實最好過一遍測度論，甚至你看了嚴加安的測度論就沒有必要看實分析了，測度是現代分析和概率的基礎，必須學深了，嚴加安那本書除了拓撲空間上的radon測度外，其他都過一遍就差不多夠了。radon測度主要是後面dirichlet型理論需要在一般拓撲空間上構造右過程和hunt過程 另外，測度論裡面的條...
泛函分析在統計學中有什麼應用？
羈鳥戀舊林 1.RKHS reproducing kernel Hilbert space 2.subspace embedding sketching random projection 3.Functional data analysisTo be continued 無窮維統計模型的數學基礎 ...
不學高等代數能學實變函式和泛函分析嗎？
書痴 實變函式學函式，主要用到基礎分析學，即起步數學分析。泛函分析也是分析學，但主要談空間，而且談的空間都是無窮維的。所以，如果不首選吃透高等代數上面的線性空間和有限維空間的話，壓根不存在看得懂泛函分析一說，而且很有可能連實變函式這一關都過不去。 yyyqqq 實變可以，只需要數分學了就行。泛函不可...