1樓：
遇到這種求和式，如果極點與留數的結構是清楚的，完全是可以直接猜出其形式的。更一般地，如果給定了極點和該處的主部，我們有 Mittag-Leffler 分解，即可以構造乙個亞純函式來得到這些極點和留數。
這裡，不妨考慮
注意，此時
的極點的分布為所有整數，且留數都為1. 所以只能是 的形式，其中 是乙個整函式，因為此時 在整個復平面上都沒有極點。最後我們求 .
首先不難發現 ，即這是乙個週期為1的函式，所以整函式P(z)也必須是週期函式，進而它是整個復平面上有界，所以必然是乙個常數。最後，令 ，則
所以我們立刻得到了：
原求和只要令 即可。
2樓：皆非
知乎首答。
第一種方法:
利用Digamma function以及它的reflection formula.
第二種方法：
利用圍道積分，所構造的函式和圍道都和 @紅葉莫題詩 的方法有所不同，在此我給出了比較嚴謹且詳細的步驟。
建構函式 ，正方形積分圍道如圖所示：
正方形積分圍道
由留數定理：
各奇點處的留數值:
\frac, -\frac\leqslant y\leqslant \frac, y<-\frac上的部分." eeimg="1"/>
1. \frac" eeimg="1"/>2. 3.
這時再來考慮積分
兩邊取極限：
可得一n遍歷全體整數的級數值
於是得到了最後的結果為：
第三種方法：
3樓：有丘直方
怎麼沒人說用Laplace變換？看到1/(n^2+a^2)這種東西當然是想到Laplace變換啦！
占個坑，回頭再更。
在飯店裡，在某高中的宣傳冊上大致寫了一下。
和 @無敵母豬佩 的結果是一樣的。
我滾回來打LaTeX了……
（為了與Laplace變換的習慣相符，下文中將原題中的 統一叫做 。）
我們定義
，現在的目標是求出 的初等形式。
定義函式 為 的Laplace反變換，即
（這裡用到了Laplace變換的線性性以及公式
）。我們看到了乙個Fourier級數。如果你在初學Fourier級數的時候認真聽例題，你可能會記得這是鋸齒波
（ ），
它的影象是這樣的：
為了方便我們進行變換，我們用Gauss括號把它寫成
。對於取整函式的Laplace變換，可以查閱積分變換表來得到。我以後可能會更新手算取整函式的Laplace變換的方法。
我們對 進行Laplace變換，就可以得到
。講一下取整函式的Laplace變換怎麼算。
假設現在我們有
（ 0" eeimg="1"/>），
現在我們想要求它的Laplace變換。
按照定義推導，然後將區間 分成 就能算了。
。這道題裡面，你算到乙個
，看到第25條，就知道它是個鋸齒波。
那麼對鋸齒波怎麼進行Laplace變換呢？這時你一查：
從上往下數第3條就是鋸齒波。
如果你的手冊不太給力沒有這麼詳細的積分變換表，這個總應該有吧：
把鋸齒波用取整函式表示，然後查這個表也能算。
4樓：紅葉莫題詩
利用留數定理，先求 。
注意到函式 的奇點是 ，在奇點處的留數均為 。
所以可以由留數定理得 ，積分路徑 如下圖。
對 外的區域用留數定理，被積函式 在 處的留數分別為 和 ，所以有。所以 。
所以 。
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