1樓：還那麼驕傲
Tate前一段時間去世了雖然已經是九十多歲高齡還是讓人有些傷感的
Tate對數論的影響太大了之前的答案已經提到了Milne的文章直接看就可以了。
之前的答案也說了 Tate's thesis讓後人對於automorphy的研究有重要的啟發性比如godement-jacquet的工作以及langlands program的formulation
Tate對於class field theory (local and global)的理解整理與證明也起到了極其重要的作用 (與E. Artin與Serre 一起 ) 比如對group cohomology的(variant的)構造與應用. 之前LCFT似乎都是從GCFT推出的(如不對請指正), 從Tate以後, local case有了極其簡單的cohomological的證明（本質上是要證明cohomolgical vanishing以及cyclicity) 以至於我都不知道之前是如何證明LCFT的.
據Lubin說 lubin-tate theory的idea是Tate給他的。這個理論對於算數幾何以及拓撲都很重要.
Tate對於elliptic curve (橢圓曲線)和abelian variety算數性質的研究也是奠基性的比如Serre-Tate對good reduction的理解, Tate module的發現以及finite field上面的數點。這些對於etale cohomology的建立也是有關聯的（可以看Tate grothendieck之間的信件）同時也建立起來motives跟Galois representation之間的聯絡為後面的langlands--fontaine--mazur猜想的建立可以說是邁出了第一步。Tate-Serre coordinate的建立也是極其重要的工作。
可以說Tate不僅提出了猜想，而且第一步就走在了正確的道路上
的確是這樣的。p-adic Hodge theory大概分為兩部分一部分是comparison (比如那個答案裡提到的hodge-tate comparison -- 其本質是說左邊的galois representation擴張到更大的C_p以後變得非常簡單-- 變成了一堆一維的表示啊對了他們叫做Tate twist。你看，想繞過Tate這個名字顯然是不可能的呀) 另一部分是研究galois representation本身的性質以及與(semi)linear algebra之間的關係在這上面Tate也走出了第一步還包括Tate-sen theory的建立。。。
Tate對於rigid space的直覺也是出奇的好而且他在70年代的時候就已經在用grothendieck topology的想法在建立rigid analysis了。這對於後輩們無疑是非常有鼓勵性的你看Tate都在用這套東西可見還是重要的.（同理現在也有人會說你看scholze都在用lurie的語言可見blahblah lol）
這才總結了Tate不到一半的工作累了不打了以後有時間可以試著總結一下 Tate conjecture的提出(Tate還證明了一小部分finite field上的Tate conjecture。Faltings的大工作的一部分就是基於這個證明的) 以及Sato-Tate conjecture, K theory, Honda-Tate theory, 等等等等。
我現在的問題是:能不能有人告訴我乙個算數數論裡跟Tate無關的重要研究方向?我孤陋寡聞完全想不出來。
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