1樓：
證明論是以證明為研究物件的數理邏輯分支。大致分為結構證明論和解釋證明論。
結構證明論研究形式系統中證明的結構，以根岑提出的自然演繹和矢列計算為基本工具。
解釋證明論探索形式理論間的句法解釋，比如直覺主義算數了實現性的形式化和哥德爾對直覺主義算數的泛函解釋。
2樓：超濾空間
我不是做證明論的，在這裡隨便說幾句。
我從乙個問題開始：皮阿諾算術 PA 屬於數理邏輯「四論」中的哪個分支？
從哥德爾不完全性定理來看，似乎應該屬於遞迴論；
從甘岑對於 PA 的一致性證明來看，似乎應該屬於證明論；
從 Kaye 關於 PA 的非標準模型理論來看，似乎又應該屬於模型論。
另乙個例子是 KP，四論中都有對於它的研究。
由此可見，數理邏輯的「四論」主要是按照所使用的方法來劃分的，它們的研究物件有時會重合。
你所說的對於證明論的第一種劃分（結構證明論和解釋證明論）符合這種劃分思路。
另一種劃分思路是按照研究物件來劃分，如當代邏輯被劃分為（狹義）數理邏輯和哲學邏輯。
按照這個思路，證明論可以被劃分為古典證明論和非古典證明論。Craig 內插定理被稱為古典一階邏輯的最後一條重要定理。從這個定理被以證明論方法證明之後，古典證明論主要集中在研究「一致性問題」上，形成了「序數分析」這一研究領域。
非古典證明論主要是模態邏輯證明論。這裡面沒有所謂「一致性問題」，因為模態邏輯的一致性都是有窮主義可證的（就像古典命題邏輯和一階邏輯的一致性是有窮主義可證的）。模態邏輯證明論主要是通過給各式各樣的模態邏輯建立 sequent 演算或自然推演系統來以證明論方法建立它們的內插定理、析取性質等。
值得注意的是，GL 的內插定理的證明論證明直到21世紀才被正確地給出。
如果把「證明論」看作（狹義）數理邏輯的乙個分支，那麼它就和「序數分析」是乙個意思，因為證明論的其他分支雖然研究方法上是數理邏輯的，但研究物件都不屬於（狹義）數理邏輯。如果把「證明論」看作（包含哲學邏輯在內的廣義）數理邏輯的乙個分支，那麼它就包括像模態邏輯證明論、直覺主義邏輯證明論這樣的分支。很明顯，結構證明論、解釋證明論這樣的劃分是對後者進行的。
Pohlers 所說的 infinitary proof theory 實際上屬於序數分析。它由 Schütte 在 1950s 建立，允許推演規則中有無窮多個前提，被 Schütte 用於以一種新的方法證明 PA 的一致性。
至於 constructive type theory，它像 PA 一樣是一種特殊的邏輯理論，因其研究方法主要是證明論的，被劃入證明論。
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