1樓：
圖一如圖一，假設從位置1開始，1元硬幣的數字1是正的，也就是說數字1的頭是向上的。滾動了1/2圓周到了位置2時，數字1已經是倒置了，1的頭已經向下了。再滾動1/2到了位置3時，硬幣上的數字1就又轉為正的1了。
原因在於滾動的硬幣不是沿平面滾動，而是沿曲面滾動的。
圖二如圖二，假設先不考慮滾動，硬幣在平面上由位置1到2到3，硬幣上的數字1的方向並未改變，頭一直是向上的，硬幣沒有轉動。
圖三如圖三，也假設先不考慮滾動，硬幣在另一硬幣的曲面上由位置1到2到3，我們注意到，硬幣上的數字1的方向發生改變，由頭向上，變為頭向下了。可見硬幣轉動了半圈。所以在平面上運動與在曲面上運動是不同的。
在曲面上運動會發生轉動。如果再考慮硬幣又滾動了半圈，那麼硬幣就轉動一圈了。
2樓：Nezumi
……我覺得是參考係的選取……不知道這麼說對不對我們潛意識上預設了，紙的上下左右為參考係。但是實際上看到有乙個不動的圓後，又認為不動的圓為參考。
從而對轉一圈這個概念產生了，不同的判斷標準。
1.硬幣數字1頭部，再次向上(指向紙的上邊緣)2.數字1頭部再次向上，指向離開圓心的方向。
根據1答案應該為1+k。k為不動圓半徑比動圓半徑根據2也就是我們認為的周長比。也就是半徑比得出的。
3樓：北塔卡比獸
不能放圖太煩人了！
最簡單的方法，簡化成兩個正方形。
另外乙個的方法，見過碎紙機嗎？
左右兩個滾筒，你把手（掛掉）紙放進去，兩個滾筒一轉，紙就卷進去了。
假設紙長2πR，兩個滾筒正好都一圈。以其中乙個作為固定參考係，另外乙個就轉了兩圈。
假設左滾筒半徑3R，右滾筒1R，紙長6πR。則左滾筒轉一圈，右滾筒轉三圈。以左滾筒作為固定參考係，另外乙個就轉了四圈。
最後乙個方法，乙個圓滾多遠其實就是圓心路徑就有多長。微積分很好證的，取個極限等價無窮小就行了。有個叫明月清明的使用者第乙個提到的，重名太多我找不到他。。。額。。
4樓：羅曼1998
搞那麼複雜，大無語事件
硬幣運動分解成兩部分，自身旋轉，同時繞另乙個硬幣旋轉例如地球繞著太陽轉，自轉同時在公轉
到底問自轉轉了幾圈，還是公轉轉了幾圈？
混淆概念罷了
5樓：「已登出」
這個有問題啊，不對啊。看問是什麼，如果問是a繞著b轉了幾圈？答案是1圈。如果是問a自己轉了幾圈？答案是1圈。
現在所有都在把這兩個混在一起說，都說答案是2圈，所以錯了，因為都沒有搞清楚問的是什麼。
換句話說，a轉了幾圈這個說法是有問題的，沒有指明參照物。而在本題中，在正常人的理解中都是指自己轉了幾圈。
6樓：
這個問題無非3圈和4圈，多的一圈在哪
請大家回想一下，自己在圍著跑道走路時
其實到這就能看出問題了
當你走過一半時，你的方向和最處開始相比，已經旋轉180度。而當你回到原點時，就徹徹底底的旋轉了360度
另外，不存在所謂相對運動3圈
大圓沒有動，那麼大圓和紙面可以視為同一慣性參考係。
7樓：
首先要定義什麼叫「轉了一圈」。因為對於不動的硬幣而言，轉動的硬幣只轉一圈，而以轉動硬幣自己為參考係，則其自轉了兩圈。
所以硬幣悖論轉了兩圈是以轉動的硬幣為參考係的，這個是前提。
現在要研究為啥轉了兩圈，先從最簡單的模型開始。
假設這枚轉動的硬幣，是在平地上轉動
當它滾過乙個周長的路徑時，自轉幾圈呢？
這個很簡單，一圈。
那為什麼，當這個路徑被彎曲成乙個圓之後，硬幣轉了兩圈呢？只能是路徑彎曲的過程中出了問題。而要解決這個問題，其實只要再有乙個中間模型就夠了。比如路徑彎曲為乙個大圓的四分之一
圖中右側虛影為該硬幣在平直路線上滾動到當前路徑距離時的狀態。可以看到相比平直路徑，彎曲路徑上的硬幣在每個時刻都多轉動了乙個角度。
而這個角度是怎麼回事，看圖就一目了然了，是因為「路徑彎了」，嚴格點表達的話，多轉動的角度即路徑的曲率。當硬幣滾動過乙個大圓四分之一的彎曲路徑後，相比平地上會多轉90度，亦即四分之一圈。
所以當這個路徑彎曲成乙個完整的圓，則硬幣就多轉了一圈。
這個結論可以這麼表達：
乙個物體沿二維平面上的閉合曲線運動一周，若該物體中軸線向量與所處曲線上的點的切線法線向量夾角不變，則以自身為參考係，必定自轉一圈。
還可以通俗一點解釋。
顯然，腦袋沒著地，但我繞著肚臍眼轉了一圈。
8樓：Gadian
其實只看圓心，可以簡單的解決硬幣悖論。
美國的原題是大圓是小圓半徑3倍。
我們不妨設大圓半徑3，小圓半徑1。
小圓初始在大圓12點方向，兩者圓心相距為 3+1=4。
小圓繞著大圓轉一圈，實際上就是小圓圓心繞著大圓圓心，以半徑4的圓周繞圈。我們知道圓周長度公式為 。
那麼小圓圓心實際走過距離為 。
小圓在一條長度為 的直線上滾，要滾幾圈呢？答案顯而易見，小圓周長 ,要4圈。
回頭來看硬幣，即半徑相等的圓。
設硬幣半徑為1，按照以上演算法，繞圈的硬幣圓心走的距離為： 。
硬幣周長為 。那麼需要繞幾圈？答案很明顯，是 2 圈。
9樓：高厲害
模擬地球吧，我們在北極認為向上是向上，在南極依然認為向上是向上 -- 我們還在同乙個參考係裡，雖然兩個方向恰好相反。
硬幣轉動過程中我們一直在變換參考係，硬幣轉到下面時，我們認為的上方向與初始參考係的上方向是相反的。
10樓：拖延症晚期患者
這是個認知偏差的問題。鎖定硬幣圓周上乙個點，設為頂點。這個頂點以平面內任意乙個點為圓心，畫圓弧。
當這個點走乙個硬幣周長的時候，硬幣「轉了一圈」(原來1朝上，轉完了1還是朝上)。比如，就拿這個硬幣本身的圓心為圓心，轉360度，硬幣自轉一圈，頂點掃過的弧剛好就是硬幣圓周，就是很好理解。
這個所謂的硬幣悖論，其實是混淆了對於硬幣轉一圈的認知。兩個硬幣，乙個繞另乙個轉，轉完完整的乙個大圈，實際上是外圈上的每個點，繞著內圈的硬幣圓周走了乙個周長，而不是我們上面定義的乙個頂點走乙個硬幣周長的長度。事實上，轉一大圈，頂點走了兩個硬幣周長的長度，也就是轉了兩圈。
11樓：唏哩呼嚕
這也能叫悖論?
這東西連所謂"一圈"和"兩圈"都沒有定義清楚,這也能叫悖論?
大多數人認為的只旋轉一圈其實是這樣的
滑動看到了嗎?這是"滑動",並不是"滾動",在這種情況下,整個運動過程中,藍色旋轉了360°
而在滾動的情況下,藍色旋轉了2*360°,兩個硬幣的接觸點在每個硬幣上移動的相對距離是相等的,可以近似看做"疊加"
滾動的圖以後再補
12樓：ImagineNight
題面：兩枚硬幣平放在一起，頂上的硬幣繞下方的硬幣轉動半圈，結果硬幣中圖案的位置與開始時一樣；然而，按常理，繞過圓周半圈的硬幣的圖案應是朝下的才對，你能解釋為什麼嗎？
解答：
首先畫兩個圓，⊙O和⊙O'，表示兩枚平放的硬幣，點A為兩圓切點，⊙O'半徑O'B所指箭頭方向為"1"的上端：
圖1然後做過切點A作兩圓切線MN：
圖2接著在切線MN上任意取一點C，連線O'C交⊙O'於點E，連線OC交⊙O於點D：
圖3如圖3所示，由對稱可得弧AD=弧AE；
現在畫出⊙O'經過弧AD(或弧AE)運動後的影象，此時點D與點E重合，用點A'表示：
圖4作過切點A'的兩圓切線M'N'，延長AO交M'N'於點H，連線OH交⊙O'於點A'''(手殘多點了個點)，由對稱性可得弧A'A'''=弧AA'；
延長A'''O'交⊙O'於點B'：
圖5可得弧B'B''=弧A'A'''=弧AA'；
圖6由上述結論可得∠1=∠3（在同圓或等圓中，等弧所對的弦所對的圓心角相等；或者由對稱性得∠1=∠2，由對頂角得∠2=∠3）；這意味著啥勒，圓O'的運動過程可以看做先繞點O順時針旋轉α°，再繞著點O'順時針旋轉α°，有了這結論就好辦了，題目相當於求當α=180°時O'B的朝向。
先看看α=90°的樣子：
圖7∠B'O'A'（O'點忘畫了，就是右邊這個圓的圓心）=∠AOA'=90°，此時O'B'方向為豎直向下，即圖案這時才是反過來的，而不是α=180°時才是。
最終就是α等於180°的樣子：
圖8此時點B'與點A'重合，方向為豎直向上，故硬幣中圖案的位置與開始時一樣，均為豎直向上。
後記：本弱第一次在知乎正經回答，求求大佬們輕噴即可，有不懂的或有異議的回覆就行。
13樓：阿吧阿吧理髮
粘我的另乙個回答
一句話回答：另外一圈是提供「方向的改變」的因為圓形讓「方向的改變」被隱藏了
這可能是知乎上對這個「悖論」解釋最清楚的乙個版本了首先，我們要面對的是兩個周長一樣並相切的圓A和B我們讓B的周長保持不變，把B壓扁，變成橢圓看起來A的運動不受影響，轉幾圈和B是不是橢圓沒關係那就在極限一點，再扁一些
很扁很扁了
既然這樣，就做絕一點，我們把B壓成一條線
這是條沒有厚度的線，為了看見它，我們給這條線做了描邊處理，不難得到B的邊長是A周長的一半
好了，咱們讓A開始運動吧
第一部分，A從B的一端到另一端
即B1到B2
明眼人一看就知，A應該要轉半圈，因為B1到B2的距離也是A周長的一半第二部分
A在B2出從上面轉到下面
大家都是聰明人，肯定知道A要從上面轉到下面，一定是需要接觸點不動，整個圓轉半圈的
成功了！第三部分開始
從B2到B1
依舊是半圈，因為長度還是A周長的一半
最後，回到初始狀態
繞B1旋轉
和繞B2旋轉一樣，轉半圈
回到了原始狀態
歸納總結
A在B的上面時，B1到B2，半圈
從上面繞B1轉到下面來，半圈
A在B的下面時，B2到B1，半圈
從下面繞B1轉回上面初始狀態，半圈
一共兩圈
14樓：老邪
先說明下，數學我忘記差不多了，可這問題有那麼難理解麼？
如果兩個園半徑相等，那動的圓繞不動的圓滾動了一圈，滾動的距離等於圓的周長，相當於旋轉了一圈。
另外，在繞不動圓運動的過程中，自身也旋轉了一圈，所以1+1=2。不是很容易理解麼？
15樓：虎骨鹿仙
這個問題的核心點是動硬幣和定硬幣始終保持乙個接觸點，也就是說運動過程中兩者每一點都是相對應的，那麼為什麼點點相對下動硬幣所有的接觸點構成了整圓，定硬幣構成了半圓這是人感覺有違和感的主要原因。這是因為弧面是可以無限細分的，只要點對應上，就能保證不發生滑動的條件下滾動，而兩者不同實際點間距不同不需要被考慮。至於為什麼是半圈可以根據圓心移動的距離就是圓滾過的距離進行簡單計算就知道了
蚊蟲叮咬，有什麼好的解決方法推薦？
家裡有兩個寶寶 而且我們都是超級招蚊子的體質 從孩子出生到一年前買了十多款驅蚊水很多都是晚上炒得很火的都沒用還有驅蚊手環驅蚊扣等各種智商稅的產品直到去年，在鄰居的推薦下又試了下這款 尼瑪用完之後真的讓我感動到了 之前兩娃腿上我腿上各種蚊子給的印記啊慘不忍睹擁有他以後真的讓我感動到了 味道很清新不會很...
建築採光的解決方法？
設計師 Rainbow 通過改變室內的結構和布局，從自然光線的傳播源頭來改善採光。一 打造通透的格局 砸牆or拆改 最簡單粗暴也是最治根本的方法就是砸牆了，把室內的輕體牆砸掉，改用玻璃牆鏤空 矮牆 落地窗等讓光線進入整個空間。之前造君採訪過的 反正 咖啡館，便是在保證建築結構安全的基礎上，砸牆重造，...
情緒崩潰時會暴飲暴食有什麼解決方法嗎？
伊草 食物給人帶來愉悅感。所以換一點可以帶來愉悅感但是健康的行為來替代。比如運動 前期難，度過運動厭惡期後帶來的快感是很強烈的，並且這種快感不僅對身體好，而且精神上不會感到愧疚和自我譴責，反而會更加的自我良好，以抵禦一些負面事件帶來的情緒問題。 苟延殘喘 情緒會給身體帶來負擔，很多時候自己意識不到，...