1樓：加劉景長
不能。這個題目的任意三等分角Trisection of an angle是古希臘三大不可解的幾何問題之一（另外兩個是立方倍積和化圓為方，此外其實還有別的比如正7邊形啥的，這3個比較出名），早在十九世紀數學家們就論證這些是不可能用尺規完成的作圖題。
三等分都有效的方法是不存在的。為了證明這一點，只要表明有乙個角不能三等分就足夠。
簡單的論證方案是考慮余弦 cosθ=g 給出的角θ。這時問題等價於求量 x=cos(θ/3)
，應用三角公式
可知 θ/3 的余弦關係為
三角分乙個由 cosθ=g 決定的角θ 問題，可歸結為三次方程
4z^3 - 3z - g =0
的根作圖問題。為了證明一邊情況的不可能性我們取 θ=60° (g= cos60° =1/2) 。
方程變為
8z^3 -6z =1
設 v=2z 則 u^3 - 3u=1
如果存在有理數 u=r/s 滿足這個方程，其中r，s是不含大於1的公因子整數，則
r^3 - 3s^2 r =s^3
得出 s^3=r(r^2 - 3s^2)能被r整除，所以r，s有公因子(除非 r=土1)。
s^2是 r^3 = r^2(s+3r)的乙個因子，所以r，s有公因子(除非 s=土1)。
因為前面假設r，s沒有公因子，所以 u^3 - 3u=1 有理數只是土1。
吧土1代入 u^3 - 3u=1，可以發現都不是它的根。
因此u^3 - 3u=1，從而8z^3 -6z =1沒有有理根。
所以三等分任意角問題是不可能的。
嗯……數學系問題都是看了幾遍我的回答應該沒啥計算錯誤或打錯字才發的。
如果還有錯的話……→ → 絕對是時辰/AC娘/世界的錯。
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