1樓：陳夢南
Chern number，spin Chern number，valley Chern number以及mirror Chern number本質上都還是first Chern number。事實上，我認為後面這三者在數學上其實是完全等價的，比如我更傾向於將後兩者定義為pseudo-spin Chern numbers。
下面，作為乙個典型例子，我們考慮乙個六角晶格系統的Dirac哈密頓量（包含了自旋-軌道耦合）
其中， , 和 都是Pauli矩陣，並且 代表了自旋（real-spin , ）自由度， 代表valley（ ）以及 代表A，B子格（sublattice）。
上述哈密頓量的第一項表示電子的hopping項， 表示Fermi速度。第二項是自旋軌道耦合項， 表示耦合常數。第三項破壞了時間反演對稱性，也就是所謂的 antiferromagnetic exchange magnetization。
我們不難驗證，
這三項與哈密頓量 是對易的。換言之，若我們將這三個算符理解為三種自旋的話，那麼我們所考慮的系統，就有三種自旋是守恆量。因此，我們可以將哈密頓量分別寫到三種自旋的對角化表象裡面，形如
由此我們可以定義三類自旋陳數如下。
第一類是真自旋陳數，我們通過對角化真自旋子空間中的哈密頓量 ，得到對應的本徵態，再代入第一陳數的表示式，就可以得到自旋極化的第一陳數： 。由於我們的哈密頓量選取得比較特殊，在valley子空間中也是對角化的（也就是所謂的valley極化），因此我們算得的第一陳數不光攜帶自旋指標，同時也攜帶valley指標。
同理我們也可以定義另外的pseudo-spin陳數。
於是該系統對應的總第一陳數為
真自旋陳數為（這裡的正負號的選取是按照自旋取向來的，向上為正，向下為負）
valley陳數為（這裡的正負號是根據兩個valley的自由度來的， 為正， 為負）
當然，我們甚至還可以定義自旋-valley陳數（這裡的正負號需要同時考慮兩個自由度的正負號）
看到這裡，相信大家已經找到寫出各種pseudo-spin陳數的辦法了。
參考文獻：M. Ezawa, Physics Letter A, 14, 378 (2014).
2樓：一邊學術一邊藝術
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