1樓：阿廖沙 杜
我只就經典力學中自由度的概念作解釋。
自由度是系統約束流形的切空間的維度；在通常的有窮維流形上，切空間和流形維度相同。
哈密頓和拉格朗日力學中，研究物件是受到約束的物體的運動。我這裡把情況簡化到剛體或質點受到完備的（holonomic）約束。
所謂完備約束，就是說系統中所有質點的位置滿足如下形式的方程組F(x1,x2,...xm)=0, 其中x們是質點在R^3中的位置。F是乙個對映到R^n的光滑函式,且dF在任何開集上不為0。
於是，系統中的物件在約束下的所有可能位置就是乙個3m-n維的流形。比如單擺的可能位置是乙個球殼（2維流形）；過山車的可能位置是它的軌道（1維流形）；宇宙中的乙個石塊（不是質點）的可能位置是它的重心位置和它的尤拉角指向（6維流形），位置是個R^3，指向是個SO3（尤拉角是SO3的一種表示方法）。流形就是光滑曲面/線/體的嚴格說法。
所謂描述乙個n維系統中質點的位置，就是用R^n去光滑的引數化這個系統。比如經緯度引數化地球表面乙個運動的質點。
流形的切空間就是物件處於某位置時，所有可能的速度。儘管流形，即物件的所有可能位置，不一定是平的；物件在某點的速度卻一定是個R^n中的向量，也就是說切空間一定是平的。宇宙中的石塊在某一點，可能有線速度和角速度，都是3維向量，我們就說它的切空間（速度的空間）是6維向量空間。
單擺的軌跡是曲線，可是某一點處，它的速度一定是圓的某條切線，是個平坦的空間。
所謂自由度就是切空間，或者說速度空間的維度，通常也是流形的維度。
這裡只是很潦草的解釋，具體可以參照
Goldstein的classical mechanics和
Isham的modern differential geometry for physicist
2樓：李木子
工科理解的自由度，是乙個物體在空間能沿著某軸移動和轉動的個數。比如XYZ軸組成的座標系，工件在完全沒有定位時，是6個自由度。如果工件通過一些定位而只能沿著X，Y移動，繞著Z旋轉，那麼稱這個工件只有3個自由度。
與物理學上有點差異。
物理中自由度怎麼理解？平動，轉動，振動的自由度，還有剛體的自由度？
完全描述乙個物體位置狀態的變數的數目，是物體的自由度。在拉格朗日或者哈密頓力學中，你知道了這些變數的數目，再加上這些變數的耦合變數 動量，或者速度，幾何意義有些許不同 就能完整描述這個力學體系的含時演化 當然你要把相互作用的形式寫出來，例如體系的能量等 翁鸌 直白一點，玩射擊遊戲，wasd控制這水平...
如何理解 自由度凍結 現象？
對於理想氣體分子，有熱運動的平動動能 轉動動能 振動動能和振動勢能 根據能量均分定理，可以得到 從上面的式子我們就可以看出每一分子的每一平動或者轉動的自由度對熱容的貢獻為 每一分子的每一振動自由度提供的熱容為 系統中存在 個分子，從而還要再乘上 某一分子的某一自由度被 凍結 那麼這一分子的這個自由度...
光子自由度問題？
1.考慮Casimir算符的本徵值個數。有質量Casimir算符本徵值數為3，無質量Casimir算符本徵值為0，重新定義新的洛倫茲不變數 螺旋度，只能取兩個極端值，即正負1。2.向量量子場中場算符的變換矩陣取為lambda，有質量情況對應對應的基底數為3，無質量情況對應的基底數為2。還能夠自然地匯...