1樓：科學匠人
不需要知道固體力學。
不需要那麼些公式
不需要長篇大論
第一點是：用已知的形函式加權，來逼近未知函式，那麼未知量就是所有權係數構成的向量。形函式可以是：
全域性或者區域性；
分片連續或者不連續；
不同光滑程度，如高階或者低階，普通多項式或者Hermite型別多項式；
多項式或者非多項式（如富立葉分解）。
第二點是：逼近誤差的最小化方式。對於一般問題，逼近誤差不可能為零。
但是可以要求誤差函式與某個合理的函式空間正交，即誤差向量在該空間的投影為零。只要該空間維度足夠高，這樣最小化就可以確保誤差足夠小。該函式空間的定義，誤差的定義都有各種選擇。
只看若干離散點的誤差，就是差分；
如果該空間就是形函式構成的空間，並以函式內積方式定義誤差投影，就是Galerkin方法；
有限體積法也可以看作一種特殊型別最小化定義方式導致的有限元。
2樓：碧落
PDE方程求解流程：
(1) 確定控制方程
(2) 方程離散。
把PDE方程成可以用來被計算機求解的線性方程組，如果無法離散成線性方程組，那麼就使用近似的方法，先處理成線性方程組，然後迭代逼近原方程組進行求解
(3) 解線性方程組
對有限元方法來講，也要遵循上面這個流程：
(1) 確定控制方程：
如果是固體問題，那麼一般使用的就是彈性力學的平衡微分方程、本構方程和幾何方程聯立；如果是流體問題，那麼一般就是質量守恆方程和動量守恆方程聯立。在這一步裡，任何數值方法都是必要的，有限元也可以解流體場，只不過在低階精度下不如有限體積法容易理解和實現。
(2) 方程離散：
在這一步中，有限元將分為這麼幾個主要步驟：
2.1 方程弱形式化
將上述控制方程組成的方程組進行一次積分，組成弱形式，弱形式後，方程的解會有一定程度的放鬆。
2.2 加權餘量法解弱形式後的方程組
當權係數為1時，形成的數值方法就是有限體積法；當權係數為形函式時，形成的數值方法就是有限單元法。從這裡開始，有限元跟有限體積的計算流程開始分叉。而把權係數作為形函式來進行加權餘量法的計算方法，又叫做伽遼金法，也就是傳統意義的有限元。
2.3 方程組合併，消掉PDE方程中的邊界項。
2.4 確定形函式
形函式，簡單理解就是插值函式。有限元的所有場變數都是分布在頂點，那計算過程中，單元中間部分的值怎麼獲取呢？就是通過形函式來進行插值處理。
取高階的形函式，單元就可以刻畫出更多細節。
2.5 等參元變換
絕大多數固體工程問題，其計算域都是不規則的，而且網格還經常會變形。這樣就帶來乙個問題：非正六面體的網格積分時會變得十分困難，因為網格一旦變形，積分就要重算，尤其對高階形函式時，會帶來很大的計算量。
這時候，我們可以使用等參元，先把變形的單元通過線性對映切換到乙個正x麵體的空間中，在這個空間中完成計算後再切換回原來的空間。這個切換的過程叫做等參變換，這個線性對映叫做Jacobi矩陣。
2.6 高斯積分
事實上，在到2.6步以前，整個方程仍然是弱形式，也就是以積分形式存在的，處理到這一步時，我們可以得到乙個龐大的積分方程組，下面的問題就是，如何求解這個積分方程組。那麼很自然地，使用精度更高的高斯積分就是最佳選擇。
到這一步，我們已經完成了整個有限元的離散過程，下面就是把這個離散後的方程組進行求解了。
(3) 解線性方程組
解方程組，傳統有限元的方程一般是對稱正定的稀疏矩陣，解法有很多，不再贅述。
如果能理解整個上述的流程，我覺得有限元的基礎框架就差不多掌握了。後面複雜的非協調元、間斷伽遼金、擴充套件有限元之類的，也是水到渠成而已。
3樓：激發態的數物演算法
看完再不懂有限元法，你掐死我吧
理解有限元法，需要理解5個要點。
1 點的位移和座標有關
這個很重要，很多人第一關就不過，就放棄了。其實很簡單，因為連續性，位移等力學量一定不會突變，所以沒一點我們都可以寫成座標的函式，這不過分，而且，但單元足夠小時，位移等力學量和座標是線性的。或者說，任意點的位移是座標的函式。
有了CAD，座標是很容易獲取的，所以待定係數反而成了我們要求解的未知數了。
2 能量最小
大部分計算都是基於熵增原理，或者說等溫等壓下，能量最低。兩者是等效的。彈性力學自然也如此。彈性力學的最小值是最小勢能原理
3 最小值和可能變數的一階有關，未知數和方程數很好匹配
虛位移就是可能性。類似y=y（x）的極值，x有很多可能性，那麼y的極值是所有x可能性的其中乙個，這是可以通過求一階導數求出來的。我們設了n個待定係數，那麼就是n個未知數，正好和n個方程（n個一階導數等於0）匹配。
4 任意一點的主體方程和其位置對應的形狀有關；平面，對面的面積，三維，對面的體積
這個最好理解了。如果x靠近節點，那該節點的權重就是百分百了。
5 試演算法
得到的n個方程，如何計算呢？隨便算，隨便帶入乙個數，不斷迭代便可。試演算法看起來荒謬，其實存在嚴格的數學基礎。
4樓：
現在有乙個2階偏微分方程變分成弱化形式，
嘗試在無限的函式空間 裡(通常是 Sobolev/Hilbert Space )
構建有限的基底的函式空間 ,通過差值求解每個基底的係數
Lax-Milgram theorem確保變分形式下的離散解well posed並足夠接近原微分方程的連續解
通過Cea's Lemma可以對離散解的誤差進行估計
Ps 我覺得泛函的角度更好理解有限元，而且得先拋棄大量的力學應用和設定。
畢竟大多數學有限元的人最後都會使用，當個工程師拿求解器解物理問題了解基本公式然後點點點。只有少數人能欣賞有限元方法本身作為數值數學上精妙性，不要被他大量的力學應用蒙蔽了，有限元不只是乙個力學求解方法。
5樓：
這個問題很大，需要很長的篇幅才能顧及到有限元理論的幾大重要組成部分：Ritz 弱形式，離散化，多項式近似理論，等參元，收斂性分析...
大部分內容都在其它答案中提及了， 這裡我只想說說我自己的感悟。以前總覺得有限元不過就是很完善的技術，把很多已有的方法（有限差分法，Galerkin法，插值法）整合到一起。後來逐漸學習更多的數學PDE知識，和接觸更多的不同演算法，才漸漸意識到有限元的完美：
也就是能在分片連續基礎上，結合泰勒展開和基於希爾伯特空間的泛函理論能給出精確的誤差、收斂性、唯一性分析。一切恰到好處、天衣無縫。
而很多基礎有限元提出的新方法，往往就失去簡單精確的誤差分析了。
所以從這個角度來說，我覺得有限元的核心就是在能解析的方法中做到最通用，而在通用的數值方法中的方法中做到最簡單和能解析。
6樓：從心
強答一波～
有限元就是個能把數理方程矩陣化的方法，既然說到簡化，肯定是從求解精度，計算效率等方面優化啦
簡單點說，有限元就是個解方程的計算器
7樓：zhangnan
有限元核心，其實是在有限維有限元空間中，尋求乙個逼近無限維空間（索伯列夫空間），較弱地滿足控制方程和邊界條件的解得一種演算法。希望大家批評指正！
8樓：pdd
核心就是寫出對應物理方程（通常為微分方程）的「弱形式」，離散化求解矩陣方程組
可以看看：
j.n.reddy的有限元第三版，國內有第二版翻譯的中文版
9樓：天色
第一絕對是變分原理，，將偏微分方程的強形式轉換為弱形式，這個轉換過程就是變分原理。
第二就是插值函式，插值函式將連續函式離散化，每個插值點就是節點。
第三就是Galerkin方法，將變分原理的權重函式用插值函式代替。
2019.9.30更新
媽的，我寫得這麼精煉三步，居然沒人讚美？
10樓：
統一模式解決複雜問題。所有的單元體都是一樣的，同時單元之間的關係也是不變的，也就是拓撲結構也不改變。這簡化了處理的難度，也把複雜問題可計量化了。
有限元能力的邊界是，對於有大變形或者多體問題的無能為力。對於大變形，常常要借助ale技術；而例如剛體球接觸，接觸判斷是最消耗計算量的，有限元無能為力。為了解決這些缺點，就發展了無網格方法和光滑粒子方法。
但是也沒有革命性的優勢，所以應用不多。
11樓：
降維和線性化吧, 通過選定基函式(每個離散單元的形函式)把偏微分方程的解集從無限維的函式空間降為乙個有限維的線性空間, 然後求出方程的解相對於基函式的座標就可以了.
12樓：汪韜
個人理解，有限元的發展，其實得從物理的最小勢能原理說起。在有限元還沒被提出之前，物理學家已經開始大量的運用最小勢能原理，把方程（如彈性力學方程）轉化為變分形式，再選取適當的試探函式空間去求解該方程。物理學家逐漸發現試探函式空間難以構造，最後的方程往往也不是代數方程難以求解。
有限元的出現帶來了以下幾點好處，所有的試探函式空間都可以選取分片多項式之類的函式（當然也可以是其他的），試探函式空間不用單獨構造。因為是有限個自由度，最後離散形成的矩陣一定是可解的代數方程組（非線性方程離散形成非線性方程組）
有限元理論，變分方程的解都是在sobolev空間裡，所以sobolev空間理論，如sobolev空間（包含分數階的），嵌入理論等是有限元的基礎。其核心理論在於穩定性和相容性的分析，這裡說的穩定性是指有限元解的存在唯一性，一般可以由infsup條件得出。而相容性是說有限元解和真解之間誤差的收斂速度，協調元的可以由cea引理和一些逼近理論給出（如插值誤差估計），非協調元的一般需要單獨分析它的非協調項。
以上是個人認為有限元比較重要的地方。
13樓：maple
有限元的思想是通過變分法，將乙個求解給定邊界條件下的二階偏微分方程的問題轉化為乙個求解乙個一階偏微分方程極值的問題。而這個求解極值的問題則假設其解是由若干個基線性疊加而成，最終將問題轉化為求解這些基的係數的問題。
14樓：
有限元方法的核心思想，從最初創立理論的大學問家，到今天的教授，到應用方面的工程師，理解是大不相同的。這個問題的答案可以有很多種。比如每一本有限元教科書的前言都會談到那個作者本人的理解。
從乙個工程師的角度看，有限元方法是將乙個真實的工程問題，比如橋梁，樓房，機械，汽車，等等，和乙個等效的可以進行計算的模型對應起來，或者說是一種建立數學模型的方法。這個數學模型包括了原結構的幾何，材料，荷載，約束，等等對等資料。
乙個好的工程師應該了解有限元的歷史，理論等。所有的理論歸根到底是「等效」的意義是什麼？怎麼就算等效了？為什麼網Grand SantaFe小，等效性就越好？即所謂「收斂性」。
但是對工程師來說，更重要的是，你的數學模型和物理實體是怎樣對應的。簡化的根據是什麼？引入誤差的原因是什麼？
求解器的限制是什麼？你往往需要有幾個解析解在手上隨時對照，校驗你的建模方法是否有效。而且你要不斷地和試驗結果對比。
佛教核心思想是什麼？
妙法蓮華 佛法的本質，是揭示宇宙人生的終極真理，世界與生命的本來。也可以用哲學的終極之問來表達 我是誰？我從哪兒來，要到哪兒去？佛法的本質是幹這個用的，但是很多人其實跑偏了。 帕伽索斯 其實很簡單，就是你想幹什麼都可以幹，但是幹完了你還剩下啥？啥也沒有。所以你想不幹的時候就可以不幹。你說你一開始幹就...
理想國的核心思想是什麼？
隨意 理想國的核心思想應該是文化，文化強則國強，有如我們的儒家文化，曾經給中華民族造就過曾經的輝煌和強大。儒家文化的仁義禮智信，人的品質只要具備其中之一，足能顯示其巨大的能量，例如李嘉誠具備了智慧型和誠信，帶來了他巨大的成功業績。再比如崔永元，具備了仁義，他的正義豪氣贏得了多少多少的網路粉絲。因此，...
墨子的核心思想昰什麼？
1 傳統中國名哲學雖然如此之貧瘠 墨子說過 私名 阿臧 類名 馬 2 然而，畢竟有，再加上 白馬非馬 足矣！以哲學的名義，中國人學子多努力！傳統中國哲學現代化！喊口號。其實大多都是從周禮裡面抄襲的東西，改個標籤去忽悠木有文化的年輕人，就跟母喊墨德當年抄襲油汰叫是一樣的，屬於碰瓷心理。不信你看看周禮 ...