1樓：范傑
總感覺 @羅心澄 沒有解釋清楚為什麼從假設xx推出矛盾，導致像 @Michael Liu 沒弄明白。我這裡做點補充。
假設xx。因為有且只有乙個元素x，因此，根據正則公理，y(yy=). 由於有且只有乙個元素x,因此這個y（如果存在的話）一定就是x，但由假設，這個x也是x自身的元素，因此x有元素x，從而就不是空集。
但是前面又得出x=y=，從而推出矛盾。
在這裡再補充一點：因為空集不包含任何元素，因此空集不滿足"x屬於x"，即不滿足「空集屬於空集」。而對於非空集合的情形，根據正則公理，從xx這一假設可推出矛盾，因此不存在集合x，無論是空集還是非空集合，使得x屬於x.
2樓：數學詭異
不用正則公理就可以直接說明x屬於x的集合違反邏輯：
舉個例子：在乙個屋子裡有五個袋子，分別設為D1，D2，D3，D4，D5；並且有5個蘋果，分別設為P1，P2，P3，P4，P5.
現在我說：將所有的蘋果全都裝進同乙個袋子裡，假設是全都裝進D1這個袋子裡，則用集合表示為：D1＝。
上面的那個集合看起來沒有任何的邏輯矛盾。
有問題，那就是：D1本身也是一條袋子，要求的是：將所有袋子全都裝進同一條袋子裡，因為D1本身也是一條袋子，所以D1也要裝下D1，即：D1＝，這個集合就是：D1屬於D1.
x屬於x的集合就是這種有矛盾的集合。
最後再說一下正則公理，正則公理在ZFC中是起什麼作用的？正則公理就是為了避免出現x屬於x這樣的集合的，但這樣的集合是可以被證明是存在邏輯矛盾的，如果乙個問題能被證明出來，那麼它就不是乙個公理，例如，ZFC中的無窮公理是無法被證明的，所以才設了一條無窮公理，既然x屬於x這樣的集合可以被證明是包含矛盾的，那麼為什麼還要加入一條不必要的正則公理？
3樓：
正則公理保證了這一點。
正則公理說：
對於任意非空集合 x，x 包含了某個與 x 不交的元素 y。
說人話就是：
顯然如果，那麼這個集合就不滿足正則公理，因為，因此。
另外，正則公理從某種意義上來說不是必須的，去掉它只會讓我們得到一些奇奇怪怪的結構，但是不會讓這個結構本身是不一致的。見：請問ZFC公理體系下正則公理的必要性？ - 知乎
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