1樓：
理論分析在其他回答中已經很豐富了，我僅在此舉乙個具體的例子：
Example記 .考察以下兩個命題.
(a)任意 ,存在 .
(b)存在 ，對任意 ， 成立.
因為 ,所以(a)為真命題.
因為自然數無上界，所以（b）為假命題.
Remark通俗一點說，任意x存在y可以模擬成刁蠻的甲方x和卑微的乙方y：甲方x提出要求，乙方給出乙個符合要求的存在y。然後甲方進一步提出更加刁鑽的要求x，乙方通過必要的修改進一步給出更加細膩的符合要求的存在y。
如此往復以至於甲方的要求可以任意地刁鑽。乙方給出的方案y可以隨甲方要求的刁鑽程度做出必要的改變。
存在y任意x可以模擬成乙個無比厲害的乙方，直接給出乙個方案y，對於甲方的任意刁鑽的要求x，這個方案都適用。乙方給出的方案y不會隨甲方要求的刁鑽程度做出必要的改變。
具體一點來說，回想數列極限的 定義， 就是那個甲方，可以任意的刁鑽（變得很小很小），而N就是那個乙方，隨著的變化而變化（在大多數時候）。
試想一下，對於數列 ，「任意>0,存在N使得當 時」和「存在N，使得任意>0,當 時 「前者是可能的，而後者是不可能的。
2樓：beanandbean
首先要先指出一點， 和 之間是沒有蘊含關係的，和 有蘊含關係的式子是 。（在所考慮的結構非空的前提下）具體的蘊含關係是
（這裡的「 」是邏輯學中表示語義蘊含的符號，在不那麼嚴格的數學上下文中也可以寫作「 「）
我們可以進一步定義 。還用上面的例子 y" eeimg="1"/>，我們就可以直觀地把 b\}" eeimg="1"/>理解為平面 中直線 下方的區域。
現在，我們就可以把原命題中的量詞 或 理解為不含量詞的公式 「應該」在某些賦值下成立的一種斷言，或者說值域 的子集 「應該」包含某種特定形狀的區域的斷言。要想構造這個特定的區域，我們對量詞部分從外往內或者說從左往右地進行如下構造：
令初始構造為乙個平凡的空賦值 。若前 個量詞給出的乙個構造為 ，且第 個量詞為全稱量詞 ，那麼直接令 ；若第 個量詞為特稱量詞 ，那麼對於乙個任意函式 ，令 為其影象。最後得到的集合 就是基於該量詞序列的最終構造。
[3]這裡要注意，由於對於特稱量詞的構造依賴於乙個任意的函式，所以給定乙個包含至少乙個特稱量詞的量詞序列，可能產生的構造是不唯一的。而邏輯學中的模型論為上述形式命題賦予的意義，就在於「存在至少一種基於其量詞部分的構造 ，使得 。可基於直覺檢驗，若量詞部分的第 個量詞為全稱量詞 ，那麼所有的可能取值 都在 中出現；若第 個量詞為特稱量詞 ，那麼對於前 個變數的一種可能取值 ，存在 的乙個特定取值 ，使得賦值 在 中出現，因此量詞部分的語義確實可以被翻譯到「公式 對於 中的每乙個賦值都成立」這樣的斷言。
現在，我們可以快速地將賦值方法應用於問題中的四個命題：
假定 和 的值域分別為 和 ，那麼我們有 為滿足公式 成立的賦值集合。現在，對於 ，對應量詞部分的唯一構造是 ，也就是說 成立當且僅當 。對於 ，對應量詞部分的構造是 （這裡需要調整 和 的順序），其中 是乙個任意函式——我們可以直接令 ，那麼就得到 成立當且僅當對於某個 ， 。
對於 ，對應量詞部分的構造是 ，也就是說 成立當且僅當 包含乙個函式 的影象，即對於任意 存在至少乙個對應的 值令 成立。最後，對於 ，對應量詞部分的構造形如 ，也可以直接寫作 ，其中 ，就是說 成立當且僅當 包含至少乙個賦值。這些都是和我們的直覺相符的。
現在，易於觀察發現，對於兩個量詞部分不同的命題 ， ，若對於前者量詞部分的任意一種構造 ，都有對於後者量詞部分的構造 滿足 ，那麼 蘊含 ，也就是說 。對於上述的 ， ， ， 這四種構造，注意到我們總是有 ；取 ，則有 ；取 ，則有 。因此，直接可以得出
的結論。而如果我們考慮原題中的 和 ，則會發現前者量詞部分對應的構造是 ，而後者量詞部分對應的構造是 ，顯然兩者之間沒有任何的子集關係，也就說明了對應的兩個命題之間沒有任何的蘊含關係。
最後，如果覺得單純寫出賦值集合的表示式的形式依然不夠直觀，我們可以令值域為 ，然後將上述的 的子集都作為平面上的區域來考慮。那麼， 對應構造 ，就是說這個命題要求 對平面上的所有點都成立； 對應構造 ，為一條橫線，即該命題等價於要求 對至少一條橫線上的點成立； 對應構造 ，所以該命題要求 至少在某個函式的影象上成立； 對應構造 ，也就是要求 至少在平面某一點上成立。現在，幾何直覺告訴我們，平面上所有點自然總是包含至少一條橫線、橫線總是某個常數函式的影象、而一條函式影象上至少包括了乙個點，因此也就證明了上文所述的蘊含關係。
而 對應的構造 則是一條豎線——它和橫線、函式影象之間都沒有包含關係，所以我們只能得到 ，而它與另外兩式並沒有蘊含關係。
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