1樓：
以前曾經非常喜歡機械迷城這部遊戲，還曾當過吧主，這個遊戲中的很多minigame都很有意思， 查了查這個puzzle在機械迷城中的出處：
Glasshouse Control Box Puzzle
由於確實水平有限，只能做有限的分析。
注意下面說法大多能推廣到nxn的情況（n>5）
首先，你要明白你要幹什麼。
處理的物件有種情況（每乙個方塊有2種選擇），我們把其中能滿足要求的圖形（情況）稱為可填的，非障礙物方塊稱為正常塊，乙個可填圖的一條滿足要求的折線稱為填充線.
（折線指不與障礙物相交的有限條依次首尾相連的橫豎形狀折線段的組合）
總之，我們需要找到乙個判定圖可填的簡潔的充要條件。
思考一下，我們這個條件總得有相關性質的說明吧？舉個例子，代數拓撲我們會考慮基本群，Betti數，同調群等等去刻畫物件，然後實現分類。尤拉研究一筆畫，也是發現了線穿入穿出點的過程中點的度的奇偶性這一不變數，然後得到了一筆畫定理。
所以，第一步需要引入一些能夠描述乙個圖的特徵量。
比如：障礙物的個數記為N，N能夠部分刻畫乙個圖。顯然圖依賴且僅依賴於障礙物的數量和位置分布。所以，我們還需要刻畫障礙物的分布。
這個問題的關鍵在於，我們不知道怎麼簡單刻畫分布（乙個個列舉可行，但太複雜），而且我們對於不同分布不知道如何採取統一的處理方式（題中三個圖的處理就迥然不同，很難套在乙個理論中）。
我們退而求其次，我們來找一些充分條件和得到一些研究結果，希望後來者能有所思考給出完美解答。
於是我們先來研究一下分布的乙個整體刻畫（也就是部分反映位置分布的東西），最容易想到的就是道路連通性。
乙個圖的25個方塊構成乙個集合，當兩個方塊A,B能夠用一條折線（圖中的橫豎）連線，且這條折線不會經過障礙物時，我們稱A,B可道路連通。
我們稱乙個圖是道路連通的，若其中兩個任意非障礙物的方塊可道路連通，或者為只有乙個正常塊的平凡情況。
一.道路連通性
1.道路不連通的圖是不可填的
反證：取圖中兩個道路不連通方塊A，B.若圖道路連通，則存在一條不過障礙物的折線恰經過圖中所有正常塊,當然也經過A，B，與A，B道路不連通矛盾！
注意：不可填的圖可能道路連通，如
我們由此可以得到乙個定性的推論：
不可填的圖種類數》>可填的圖種類數
證：考慮
左上角為正常塊，然後圍著兩個障礙物，然後其他方塊標？，代表隨意選擇正常塊或障礙物，這樣的圖除去？全為障礙物這種平凡情況，其餘都道路不連通（左上面一塊被孤立了），於是我們得到種不可填圖，考慮右上，左下，右下的相同情況，再加上還可以找到的其他道路不連通的圖若干種（遠遠》4，易證故略去），所以不可解圖種類數至少
4(2^-1)+4=2^" eeimg="1"/>,圖種類總共種，因此得證。
這個估計是粗糙而直觀的。
二.尋找起點或終點
道路連通性雖然起了一些刻畫效果，但是其遠遠不能完全刻畫分布（如題中三個圖均道路連通，但結構差異較大），我們先來思考一下為什麼
不可填.
反證：設度為1的方塊A非某條填充線的起點或終點，那麼線經由它時一定會先穿入，再穿出（否則A就得是起點或終點），考慮線從方塊B穿入A，從A穿出進入C，則A與B，C相鄰，A度至少為2，矛盾!
由於一條填充線只有乙個起點乙個終點所以乙個可填圖至多有兩個度為1的方塊，於是我們有乙個比較好用的推論：
3.若圖有3個或3個以上的度為1的正常塊，那麼圖不可填。
當圖只有2個度為1的正常塊A，B時，若從A出發的折線沒有能填滿整個圖且最後到達B的，從B出發的折線也沒有能填滿整個圖且最後到達A的，則圖不可填。
當圖只有1個度為1的正常塊A時，若從A出發的折線沒有能填滿整個圖的，或者從其他任意點出發的折線不能填滿整個圖且最後到達A的，則圖不可填。
於是當圖有2個或2個以上的度為1的方塊時，將問題縮小到了只考慮不多於兩個方塊的簡單情況。
利用這個，容易知道下列圖不可填：
（有3個度為1的方塊）
（雖然只有2個度為1的方塊，但是從A出發的折線，其只能到達棕色點，不能繼續前進;而B出發的折線注定會錯過黃色點）
注意：可填圖也可能沒有度為1的方塊，如：
也可以只有乙個度為1的方塊，填充線的另一端點對應非度為1的方塊，如：
三.障礙物的數量N的影響
我們說過，障礙物的數量也會對結果有影響，而對於較大的N的情況，障礙物的位置分布情況過多，造成了只依賴N進行的估計很困難。
但對於較特殊的N，我們也可簡單構造性地嘗試得到一些結果：
4.N=0，1，23,24,25時
N=0時：
（可填）
N=1時，由於圖形的中心和反射對稱性，故只需要考慮幾種情況：
（可填。顯然）
（不可填。這個時候只有乙個度為1的方塊，A出發的折線顯然不行，對於從其他點出發最後回到A的折線進行逆推，也不可能是填充線）
（可填）
（可填）
（不可填。我們把邊緣16個方塊稱為外圍，內部的方塊形成3x3正方行
注意到折線的起點如果選擇最外圍的點，我們來看其最初的方向選擇，如果是繞外圍前進，那麼其先會繞外圍走一圈，然後再進入內部的3x3正方形，由於內部3x3正方形不可填，故不可行。要麼其會先最初就進入3x3正方形內部，然後會出現如下情況：
其直接把圖分成兩個連通分支，故接下來肯定不能填滿圖。
或者（可填）
而N=23，24，25分別為
當且僅當兩正常塊相鄰可填否則不可填；可填；不可填，這是顯然的。
四.生成新的可填圖
某可填圖的一條填充線末端的正常塊變成障礙物可得到另乙個可填圖，舉例如下：
大概就是這樣，我們可以從已知可填圖構造出新的可填圖。
實際上每個方塊的度唯一決定了一張圖，所以也許可以從度的角度獲得更好的結果？
如對應度為
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