在平地上拋硬幣，出現硬幣豎著的概率為零嗎？

1樓：荊哲

用經驗說話，初三時某乙個早晨，我真的拋到過。

如果概率是0，那就要比所有10^(-n)還要小（n是任意大的正整數），或者說，我初三時扔到硬幣立起來的概率，比我買一注彩票中頭獎，領獎出來後被一輛車撞了撞進醫院，進了病床後我整個人完整地量子隧穿到隔壁病房的概率還要小。然而，我真的扔到過。

2樓：言水

我覺得這是個非常有意義的問題。一句話回答：我拋出過，所以概率不是零。

但是怎麼求這個概率，以及這個概率到底是個什麼意義，我覺得有非常深刻的內涵。

如果所有碰撞都是完全非彈性碰撞，硬幣是標準圓柱、平地是光滑/粗糙平面，毫無疑問經過略顯複雜的計算後我們可以計算出這個概率，但是——

1.硬幣的初始狀態概率分布是怎樣的？硬幣是個剛體，有3個平動自由度和2個轉動自由度，每個自由度又有各自的速度。

座標空間很好確定，但速度空間呢？認為初始條件布滿整個速度空間顯然是不正確的。布滿高度空間，那也不甚合理

2.如果地面不那麼理想呢？如果碰撞是胡亂的，或者地面有著微小的不可測瑕疵，那麼這個非線性系統多半會得出大相徑庭的結果，那麼我們基於理想假設得到的結論也就沒有了現實意義。

那麼我們到底該如何考慮這個概率

首先是概率的定義：經過大量實驗，得到的極限。所以我們應該拿出很多這樣的硬幣，然後把它們撒下去

現在我們獲得了一大堆在平面上蹦跳的硬幣。

然後，什麼時候我們可以說，這個硬幣是正面朝上、反面朝上、豎著呢？單純地用位置衡量是不可以的。你看，這個硬幣掉在了地上，它豎著，可是下一刻就彈了起來，又躺了下去。

這顯然硬幣豎著的描述不符。硬幣可以處在狀態空間裡的許多位置，但這個空間裡有三個勢阱：正面朝上地停著，反面朝上地停著，還有乙個微小的勢阱就是豎著。

只有當硬幣的能量不足以躍出這個勢阱時，我們才能說硬幣正/反/豎。

如何研究這個過程？研究大量粒子的統計規律，這是熱學。

硬幣就是我們的分子，它具有動能和勢能，勢能只有重力勢能。硬幣群是理想氣體，平均動能就是它的溫度。硬幣每次和地面碰撞都會損失能量，所以硬幣群在損失熱量。

硬幣損失溫度的過程中，一旦溫度降低到兩個大的勢阱之下，那麼就會不斷有硬幣從不穩定態跌入這兩個勢阱，直到溫度進一步降低，始終沒有跌入勢阱的硬幣才能幸運地選擇跌入第三個勢阱。因此，假如溫度緩慢地降低，也就是每次一碰撞都幾乎是完全彈性碰撞，那麼硬幣群幾乎總是處於平衡態，我們可以用玻爾茲曼分布：

其實和氣體分子相比，當硬幣溫度降到如此之低以至於它都不怎麼彈得起來的時候，T已經很小了。用乙個經典的極限， b)" eeimg="1"/>,我們可以得到硬幣豎著的概率非常小，但不會是零。到底有多小，有賴於具體的計算，這可能非常複雜。

但是上面的情況下，硬幣之所以還有可能豎起來，是建立在落入勢阱的硬幣還可能返回勢阱之上的情形之下的。這怎麼可能呢？因為我們有一大堆的硬幣，硬幣之間的相互碰撞會使得有些硬幣具有相當大的能量，正如在氣體的情形下。

顯然現實中單個的硬幣不會有其他硬幣給它提供能量。如果它的能量無限緩慢地降低，而地面、硬幣又不完美的話，落入（高能）低勢阱是不可能的，因為它會面臨無數的選擇，每一次它都可以選擇離開，而一旦離開就無法返回。硬幣不可能豎著，除非它能很快地損失能量。

當然現實中硬幣的能量確實損失得挺快，所以硬幣可以豎起，最大概率就前面有人算的那個。

3樓：

不為零, 做乙個簡單的思想實驗

考慮乙個長的圓柱體, 顯然拋這樣乙個物體最終落地大概率是曲面接著慢慢縮短它的高, 在某一刻, 落地後曲面和平面的概率等同接著繼續縮短它的高, 曲面的概率快速下降, 最後在硬幣的比例下曲面的概率已經非常小了, 但還是不為零, 或者說只要高存在概率就不會是零...

那麼問題來了,半徑和高比例多少的時候, 落地有一半的機率是平面, 一半的機率是曲面?

4樓：獨一無二的牛

在概率論上，概率為零的事件不一定是不可能事件。比如射箭，箭射在某一點的概率就是零，因為靶子上有無數個點，但是箭並不是完全不可能射在這一點。跟硬幣豎起來是一樣的道理，硬幣有可能豎起來，但是概率為零。