1樓：Huxley
按：給出橢圓錐面被任意平面所截的軌線方程及其展開式。
1、橢圓錐面被任意平面所截的軌線方程
在直角座標系 中，考慮橢圓錐的頂點位於 處，橢圓錐與 面的交線為橢圓：
相應的引數方程：
令頂點 與橢圓點連成母線旋轉生成橢圓錐面的引數方程：
這裡引數 對應頂點 ，對應 平面上的橢圓。今取過點 且法向量為 的任意平面 :
則橢圓錐面為 所截的軌線滿足：
由此解得：
式（2）代入式（1）即得軌線的引數方程：
2、橢圓錐面被任意平面所截的軌線展開
令頂點 為展開不動點。顯然展開過程中母線長度不變，可以立得極徑 。故唯一需要計算確定的是引數 對應的幅角 。為此在基於式（4）的微分三角形 中使用餘弦定理：
記 ，略去三階以及三階以上小量整理可得：
那麼：積分並令 得到：
結合極徑函式，即得軌線極座標方程的引數形式：
當然式 (4) 也可視作確定了隱含關係：
故而軌線極座標方程也可以等價地寫為：
最後，值得指出的是，筆者在此給出的辦法可用於任意可展曲面上任意跡線的展開方程的計算，具有一定的通用性。
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