1樓：
對於一階線性非齊次微分方程 （1）
先考慮其對應的齊次微分方程 （2）
將（2）變形為：
兩側積分得：
化簡得： （3）
這就是齊次方程（2）的通解，其中 是任意常數接下來我們使用乙個技巧，通過這個齊次（2）的通解來求出非齊次（1）的通解，名為常數變易法
設（1）的通解為：
對其求導得：
將以上兩式代回到（1），整理得：
進一步化簡得到：
故（1）的通解為： （4）
或者，可以從另乙個角度出發來求 （1）的通解將（1）兩側同乘乙個 得：
兩側同乘乙個積分因子 使其變為乙個恰當方程：
湊微分得：
直接積分得：
這樣就求得了（1）的通解：
這與常數變易法求得的結果是一致的
對比非齊次方程（1）的通解（4）和齊次方程（2）的通解（3），容易發現它們之間蘊含著一些關係，事實上，「一階線性非齊次微分方程的通解」等於「一階線性齊次微分方程的通解」加上「一階線性非齊次微分方程的特解」，這一結論可以拓展到n階線性微分方程
引入n階線性微分運算元
則n階線性齊次微分方程可表示為
n階線性非齊次微分方程可表示為
一般地，若 是 的特解， 是 的通解，則 是 的通解首先，由運算元的線性性：
所以 是解
其次，考慮其朗斯基行列式：
從而 是通解
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數學天才琪露諾 如果鑽牛角尖的話，第一張圖裡面的兩個形式都是通解，因為通解的定義是包含n個自由變數 其實也就是積分常數 的解，n為方程的階數。只不過一般來說我們總是想讓通解囊括盡可能多的解，所以第一張圖那樣的題目答案設定時候往往會設定成e指數的那個通解。 首先先理清楚你的問題是啥，看得我有點暈暈的。...