1樓：MAN
從邏輯上看，對角線證明存在邏輯錯誤：混淆了「可列」countable與「列出」list的概念。
1、假設實數「可列」countable，根據康托爾的定義，「可列」同「可數」，具體含義是能與自然數建立一一對應。
2、將[0,1)的實數「一一列出」list。如果構造出乙個數並不在列出的實數裡，它就是個新數，且屬於這個區間，就說明實數「不可列」。但這裡還存在另外一種可能：
可列countable不一定能一一列出list。這個可能性未排除的情況下，也可以用這個反證法來證明「可列不一定能一一列出」。
3、反證法的邏輯需要乙個前提：可列countable則必能一一列出list。實際情況呢？
4、假設「可列」必能「一一列出」。根據「有理數可列」，則有理數能一一列出。[0,1)的有理數能否一一列出？
第1個有理數是0，如何列出「第2個有理數」？顯然的是，「第2個有理數」並不存在，所謂不存在的意思是，任意列出的乙個有理數，附近都有無窮多個無法列出有理數。一一列出是做不到的。
綜上，對角線證明的結論，只能說明：構造的實數不在「可列且已列出」的實數中、並不能說明它不存在「可列但未能列出」的實數中。證明方法混淆了「可列」與「一一列出」，認為兩者等同。
2樓：真傻
我是楊正瓴。
My God！買糕的！！
（1）俺什麼時候「反對康托爾的對角線論證」？
（2）沒有「Cantor theorem 康托定理」， 俺可怎麼活啊！
俺能活到今天，五分之一的原因是「Cantor theorem 康托定理」。
樓主要俺去自殺？
（3）樓主可不要亂說！！
3樓：李旻
這證明牽扯到三個數集（集合），自然數集 ，有理數集 ,實數集
當然還有乙個集合 ,也就是前面n個自然數。這個集合，裡面元素個數是n個。
是 的乙個子集，這個結論能夠接受吧， 這個集合是有限的，成員個數是 ，也就是集合的勢（大小）（基數）是 ，這個也能接受吧？沒有任何問題吧？那麼我換個說法 是有限的，而且能夠數出來是n個，這個就是定義了，你去反駁這條就只能重新去造公理系統了。
那麼無限集合是什麼？不能用 這種集合去「數」成員個數的集合，這個也是定義。
可數集合是什麼？能用 這種集合數個數的集合，所以有限集合一定可數的，這個就是上面可以推出的乙個明顯的推論。
無限集合可不可數？看這個無限集合能不能用 去數,不能用 叫做不可數。
所以在這個定義下，集合的分類圖是這樣的：
F：有限， IF：無限 C:可數 UC：不可數
左邊那個大球可數，右邊那個大球不可數
綠色的球有限，紅色的球無限。
小數嘛，有限小數是有理數集，無限小數才是實數集，在證明裡面穿插用，是想把水攪渾嗎？
整數集是可數，它是無限的，這個又不衝突。
還有這種對角線構造的說法，能不能不要強加給這麼明顯的幾何感，能證明全體實數排隊剛好能夠站成成個正方形。。。
另外就是那個了，你每次挑選乙個數佔位，這些站位好的數連在一塊到底會不會掉出實數集合之外，這個是一條公理，如果覺得不會，還在實數集，就是預設這條公理；覺得會掉出實數集，你就不要在之後的邏輯裡面，再混用，又想把水攪渾。。。
4樓：Yuhang Liu
其實很多這些反駁的人，他們沒有意識到，他們的「反駁」在於他們的數學哲學立場不同。比如他們實質上是在反對實數的構造方法，比如不承認戴德金分劃，或者無限小數的構造方法。那麼因為他們反對了實數的構造法，對他們而言，實數就是乙個沒有定義的東西，[0,1]區間也是乙個沒有定義的東西，[0,1]裡面的元素可不可數也就不是乙個有意義的問題。
5樓：dhchen
我現在算是明白為什麼康托兒當年會被逼瘋了，因為到現在依然有人是不接受無限這個概念，即使有完整的教材，也也理解不了。
是的，我的意思就是他們沒看懂康托爾再說什麼，然後急吼吼地反駁。
要判斷乙個人在數學上是不是傻叉非常容易，就看他能不能理解「無限」、「反證法」這種稍微需要點腦子的抽象的東西，如果這些都拎不清的話就天天去看平面幾何比較好。
反正就優美來說，平面幾何是非常優美的，而且非常直觀。
倒不是我看不起他，只是現代數學是有一條完整的內在邏輯體系，經過馮諾依曼等人的錘煉，基本達到了可用的狀態。康托兒在現代數學體系(zfc)中並沒有什麼問題。
而且按照這個人的速度，他快「接觸」到「不可測集合」、「三球悖論」之類的東西了，到時候又得寫文章「反駁」選擇公理了。
並不是你不能反對選擇公理，只是你得知道你在反對什麼。很多人的問題在於他們不知道自己在反對什麼，這就有點搞笑了。
順便一提，這下面某些回答的辣眼程度和這個人的文章其實差不多。
6樓：L'Analyse
並不存在爭論。
國內國外的確有很多「質疑」Cantor對角線法的人（我在網路上也見過無數個了），那些人只是在曲解Cantor的言辭罷了。
因為持有類似觀點的人有很多，我的確很好奇這些人的數學觀是如何形成的。
PS. 這個問題真的是能豐富我的潛在黑名單物件。
7樓：打火機不好吃
這些人目的都很奇怪啊，只是為了駁倒這乙個證明方法？那意義何在？如果是為了說明實數可數，好像並沒有什麼用啊，人家也有用區間套定理證明的。
不會這些人不知道還能用區間套定理證明吧。
8樓：IIIII
本人數學水平有限，不過剛看懂對角線證明的時候就不贊同這個證明。
以下是我的個人想法的最通俗易懂的描述：
對角線證明既然列出了0到1的所有小數，卻找到了乙個數列中沒有的小數。證明中給出了乙個似乎理所當然的對角線進行輔助證明。我認為問題就出現了。
我懷疑這對角線是否合理存在。首先我從簡單的二進位制有限兩位小數入手思考。
眾所周知0和1有4種排列組合所以有
0.00
0.01
0.10
0.11
4種小數。3位小數有8種小數。4位有16種...
顯然列數是n，排數就是2的n次方，即使都是無窮大，排數也比列數大得多。對角線一直不存在。
前提給出對角線就意味著數列本來就不完整，與列出全部小數的前提矛盾。
以上面的兩位小數為栗子，假設對角線存在，則假設這個不完整數列為：
0.00
0.01
通過對角線證明取出的數是0.10。
反對角線才能取出0.11。
更多位的小數要從證明取出的數不斷再組合形成方陣能取出其餘的數。
9樓：不可分量
對角線法確實錯了，何華燦老師在《無窮概念的重新統一》一文中給出了證明。
無窮概念的重新統一 - 中國知網
（文章比較長，具體論證在210頁到211頁的2.6節）簡單說一下我對文中給出證明的理解：
把整數倒過來寫，先寫個位，再寫十位，再寫百位，高位上沒有數的寫零。然後我們就可以用同樣的對角線法證明自然數不可能與自然數一一對應。這顯然是錯的，所以康托的證明有問題。
10樓：伯勞
考慮到這個問題連問句都不是，無所謂答非所問了。
很多年紀稍大的基層講師,副教授的水平，甚至不如國內前十數學系剛畢業的優秀本科生。這些人的證明根本不用看。
由於啥學校都要開高數課，教師水平不好保障。比如我的同事，基本上只會手頭教的課程(但他們教學很敬業)。水平不足的人想做超出能力的研究，就容易陷入魔怔。
相對來講國內數學系正教授能力有一定保障，至少有基本的數學能力。因為在資質不足的學校，比如沒有數學系的學校，評教授需要教育廳找的專家來評…
11樓：Chris
現有的對角線法則的證明我覺得少了一步，所以給人的感覺不是很嚴謹，有些說不清的地方。
我這裡嘗試補全一下缺的那一步，至少本人覺得沒什麼漏洞：
反證法：假設[0, 1]之內的實數可以和正整數一一對應（即假設存在某一一對應函式 ），統一起見下表中右側的小數均寫為無窮小數，0.1就寫作0.099999....：
一般網上能找到的證明到這裡就會直接這樣構造乙個實數 ， 若第一位小數是1，那麼 的第一位小數就是2，若 第一位小數不是1，那麼R的第一位小數就是1，對 做同樣的事情就會得到乙個類似這樣的實數 = 0.121222212211122.....，這個實數 和上面列出來的每乙個都不同，所以實數不可列。
這種找到 的方法似乎不怎麼嚴謹，為什麼可以無窮次這麼做？為什麼這樣構造出來的是乙個實數，而不是其他什麼怪胎？
這裡我換一種描述方法，讓每一步都有理有據：
構造乙個無窮有理數的數列：
每一項都是有理數，很容易證明數列 是遞增數列，又很顯然它每一項始終小於0.3。
所以該數列是遞增有界數列，所以它有極限。（遞增有界數列有極限這個定理高數課本有基於公理的很嚴謹的證明）
所以可以設
有理數數列的極限可以不是有理數，但必定是實數（其實實數的定義就是有理數數列的極限），而且由於 是閉集，閉集內任意數列的極限總仍然在該閉集內（高數書上有證明，所以略），所以 ，而且它不和表裡任何乙個實數相等，因為對所有的 ，的第 位小數必定和 的第 位小數不等。所以 不在 的值域中，所以和假設矛盾，假設是錯的，即不存在這樣的 ，即不存在 的一一對應。證畢。
狡辯1（在其他回答裡看到的）：就是說可以把新的 不斷往表裡加，所以還是可列。
這其實是忘掉了這個反證法的假設：『假設我們找到了乙個一一對應函式 』。本質上這個狡辯是換了乙個新的假設：
往列表裡新增新的 ，所謂新添，因為列表無限，只能插入到中間某個位置，即改變一一對應的對應方法，這其實就相當於換了乙個假設，就不再是原先假設裡的那個 了，新的假設就變成了『假設我們找到了另乙個一一對應函式，這個新的函式由原來的 插入 得到：』。
原來的假設裡的 已經被矛盾給否定掉了。新添乙個 只相當於換了乙個函式 ，而並不能證明可數。再用同樣的套路就可以否定掉這個 。
其實原先假設中的 沒有任何限定語，所以無論把 換成 還是換成 都可以同理可得。所以這個狡辯只相當於我們換了一種方法重新做了一遍這道題，並沒有什麼卵用。
從直觀上這個狡辯還有乙個誤區：似乎往值域裡不停地新增新的實數也是在乙個個地數實數。可以這麼乙個個地數，和數學裡的「可數或者可列」到底是不是同乙個概念？
那麼什麼叫做實數的「可數」或者「可列」呢？拿上面的例子來講[0, 1]實數「可數」是指所有[0, 1]之內的實數都可以和正整數建立一一對應（一一對應即單射並且滿射）。
注意可數定義裡強調的是所有實數，上面的方法確實是乙個個在數實數，有什麼證據表明這樣能夠數到所有[0, 1]裡的實數？
如果實數是可數的，那麼乙個個加新的實數確實可以覆蓋[0, 1]的所有實數，但這豈不是拿結論來證明結論？所以這樣推理是無效的。事實上也沒有任何公理或者定理能保證這點。
很多人這樣想恐怕是被自然數誤導，往0,1,2...裡不停加新的自然數可以覆蓋整個自然數集合，這是皮亞諾公理保證的。而對於實數而言並不存在這樣的公理，所以不能想當然地把這種思維類推到實數裡面。
狡辯2，同理為什麼不能得到有理數不可數？
這個用上面的證法就很好反駁。假設存在乙個 ，依然是想辦法構造出乙個對應不上的有理數，第一步還是構造出 ，該有理數數列的極限設為,可惜 是乙個實數，並不一定是有理數，所以只能說明存在某個實數對應不上，而並不能說明某個有理數對應不上。所以和假設不矛盾。
狡辯3，剛看到的乙個： 前面加0. 就會變成 ，前面加0.
就會變成 ,那麼對所有自然數前面加上 豈不是就得到了(0. 1, 1)之間的所有實數了嗎？換句話說(0.
1, 1)之間的所有實數都可以這樣通過某個自然數前面加上0.得到。
這個漏洞非常明顯。 或者這些實數是由哪個自然數前面加 得到的呢？顯然是做不到的。
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