1樓：substeps999999
線性是非線性的區域性近似。
當我們機械佬處理非線性問題，通常要把場分成一塊一塊的單元，乙個關於場函式非線性的偏微分方程組將會變成乙個關於擬合係數的線性方程組。我們有時將非線性方程組弱化，選擇合適的形函式分配到單元中，讓近似解用節點上的值線性表示出來，然後擬合出近似解；有時選擇乙個擬合函式，對非線性控制方程在每個單元內積分，也可以形成乙個線性方程組；有時乾脆將微分方程近似成差分方程，還是可以形成線性方程組
2樓：BobG
你得看這個少是相對於誰的。
如果和乙個能解決世界上所有問題的神來比較，那線性方程解決的問題的確是少。
如果是和幾千年前的古人來比較，那線性方程能解決的問題就太多了。
就好比是：老闆發工資才佔公司總收益的1%，也太少了吧。但是實際上公司的總收益可能是一千萬，你拿到手裡十萬，一點也不少，比一分錢拿不到強多了。
還要啥自行車啊。
當然你要自行車的夢想還是要有的，萬一實現了呢。
3樓：向陽
對特定問題或場合而言，「小訊號」假設常常是合理的，因此，線性近似處理有著相當高的精度
——《現代控制系統》
且很多機械元件、電氣元件的線性範圍非常寬，哪怕對於一些「不那麼線性」的流體元件來說，也可以在工作點附近做線性近似。
另，線性系統其實意味著滿足齊次性與疊加性。
4樓：
首先，研究不是為了實用性，儘管我們研究往往在解決實際問題，但這不是最終目的。
其次，按照由簡單到複雜的理念，我們當然首先研究線性，然後非線性。
思想，非線性要麼轉化成線性，要麼進行區域性線性化。
最後，我們對線性的處理方法，可以用模擬地推廣到非線性，儘管對這種模擬，我們可能沒有理論上的保證。
5樓：
一點也不少！
如上圖，左邊是非線性系統，右邊是線性系統，你可以很清楚地看到，線性系統是對非線性系統的「最優線性近似」，它保留了非線性系統中那些最重要的「定性」性質：比如穩定性/不穩定性。數學上，這些「定性」性質被稱為動力系統的拓撲性質。
同時，線性化最大的好處就是便於處理。
當然你可能會問：是不是所有非線性系統都是可以被線性化近似（保留定性性質）的呢？答案……當然是否定的啦（否則的話還要研究什麼非線性動力學呢？
）但是幸運的是，微分拓撲中的Kupka-Smale's theorem保證了這樣乙個事實：粗略地來說就是，光滑流形上的那些可以被線性近似的非線性系統是通有的（當然，這只是這個定理內容的一部分）。
大白話就是：
可以被線性化近似的非線性系統是非常、非常、非常多的（通有性質要求是稠密的，也就是我們可以利用這樣的非線性系統去逼近那些非雙曲系統）。
附錄Kupka-Smale's theorem
這裡還是解釋一下定理中的transverse（橫截）是什麼意思吧，這也是微分拓撲的乙個重要概念：
很清楚， 是非線性系統的區域性不穩定流形， 是區域性穩定流形 ，在工作點區域性線性化之後對應的線性系統具有穩定子空間 （由矩陣的負特徵根對應的特徵向量張成）和不穩定子空間 （由矩陣的正特徵根對應的特徵向量張成）， 它們分別與對應的流形相切。transverse（橫截）指的是兩個流形的切空間張成了全空間。
6樓：lens
關注了這個話題很久，感覺能插上話的就不多，各回覆之間要麼角度不同要麼直接觀點相左，然後對自己研究這麼久仍舊感覺沒入門，稍微得到一點安慰。
7樓：默默藍
「儘管在很多領域，線性方程令人驚訝地、完整地概括了外部環境。模型的建造者仍會意識到，有時候線性模型也只是乙個外部環境動力系統的簡化或者縮影。幾乎可以這麼說，我們所經歷的世界被近似的線性關係所主宰。
」——《不確定世界的理性選擇》
8樓：
就是在回歸模型裡面，如果乙個非線性回歸的準確度比線性回歸高一點點，但是複雜度高很多，我們仍然選擇後者。原因無他，第一是總的代價低，第二是容易解釋，第三是容易使用。
9樓：逗逼仙人Oracle
湊合著用吧！湊合著用吧！湊合著用吧！
非線性有時候是因為割裂的看待事物，結果線性的東西就變的非線性了，活該找不到北，所以還是湊合著用吧！
10樓：
在高中我們就學過，如果f(x)和x不是線性關係，那麼可以構造乙個g(x)使得x和g(f(x))是線性關係，一切又都有效了
11樓：
線性規劃侷限確實比較大，但線性整數規劃覆蓋範圍就非常大了，而且超大規模問題現在也能解的很好。此外非線性模型求解的侷限很大，凸問題也只有一小部分有通用演算法包。
12樓：fledsu
記得乙個老師講過乙個笑話
警察看到醉漢晚上在路燈下找東西，就過去詢問，在找什麼醉漢說在找鑰匙
警察又問，你鑰匙在哪丟的？
醉漢一指黑暗裡說， 在那邊
警察就納悶了，那你為啥要在路燈下找呀
醉漢答，因為這裡有光呀
所以真實的非線性世界是一團黑暗， 線性的方程是可解的，所幸的是，咱們在路燈下還能找到些東西，模擬黑暗中的鑰匙，在實際中結果不錯
13樓：
對計算數學來說，一切的問題都是線性問題，注意，是一切，沒有例外，而真正的科學計算中使用的資料幾乎都來自計算機，所以我們不談現實，只談誤差！
計算機只能解決有限的線性的問題毫無疑問。比如我們的CG動畫裡面就涉及大量的非線性方程的求解問題，最簡單的牛頓運動方程，就是乙個二階微分方程，但是你說你現在看到的動畫，比你覺得他真實嗎？那些粒子的運動，光線的渲染算真實嗎？
我覺得是比較真實的，原因就是線性逼近這種非線性問題只要演算法合適，問題適定，誤差絕對能夠控制到你想在小數點後多少位就可以是多少位，更別提只需要糊弄一下你的眼睛，那誤差隨隨便便取就夠用了。再者，實際應用中，資料的採集和計算，在現代的科技幾乎都是基於計算機的，不可能真實無誤差，計算機隨隨便便來個系統誤差可能都比我們線性近似求得的解的誤差大，所以線性方法在現代科學領域幾乎是唯一的方法，所以線性方法才是王道啊！
14樓：
「現實世界是非線性的」
這個提法是不正確的。雖然我並不否認世界上有太多甚至絕大多數非線性的存在。
很簡單，你要買乙個饅頭，6毛錢。你給了老闆一塊錢，老闆要找你多少錢？
請問這個問題是不是現實世界？
請問這個問題是不是線性問題？
15樓：邊博旻
現實世界是乙個複雜系統，動態時變，事物相互之間的關係可以認為是乙個關於時間t的函式（實際上更加複雜）。當我們面臨要解決一些實際問題的時候是不能不忽略這種非線性變化的，但是對於一些問題我們需要控制變數，標定一些引數來達到某種理想狀態（也許是線性的），從而使問題得到理論上的解決，並對解決現實問題提供理論基礎。順便說一點，不是線性方程什麼的解決的問題太少，是我們太無能罷了，哎。。。
@崔酷依
16樓：
人解決問題的思路是這樣的：
現實世界中的問題→用人類的方法描述（多半最後轉化為數學語言）→用人類的方法分析（數學計算）→計算結果→在結果的指導下解決問題
也就是說：一共有兩個世界，乙個是真實世界，乙個是人類所認識的世界。人類認識世界的方式是將世界用自己的方法描述，即人類認識的世界永遠不能和真實世界完全等價，人類認識的世界只是真實世界的一部分。
解決問題，是建立在人類認識的世界的基礎上的。是抽象化的世界，不是真實世界。
人類靠什麼描述人類認識的世界呢？是數學。因此，人類描述和研究世界以數學理論為基礎。
在人類的數學理論框架下，線性計算比非線性計算擁有更多的優勢，因此人類傾向於用線性計算分析這個世界。
換句話說，世界本沒有線性不線性的區別，線性或者非線性的概念都是建立在人類的認識上。從根本上說，世界不是線性的，也不是非線性的，世界是什麼樣子的我們不能完全地描述。人類喜歡用線性描述問題，最終取決於人類描述這個世界的方式，即數學及其理論。
是人類建立的數學理論保證了這一點。
如果幾千年前祖先發展出了一套完全不同的數學理論，對世界的分析方法也就很可能不是這樣的了。
17樓：餘成成
從工程角度簡單補充下。
線性規劃（以下用優化代替，更加一般的術語）能解決的問題確實非常有限。
但隨著這些年計算技術的發展，借助計算機，人們現在已經可以非常好地解決凸（凹）優化問題，即問題描述可以是滿足凸（凹）性的非線性方程。形象地說在凸函式上任何一點求切線（面），函式的其它值都落在切線（面）的同一側。見Convex function。
這是乙個非常重要的擴充套件。
但目前人們對於更加一般的優化問題的解決能力確實有限，一般尋求轉換為上述兩種問題的形式然後求解。僅從工程角度而言，很多時候找到個不錯的近似解就足夠了，大部分你可能會碰到的目前無法找到最優解的問題都會有各種各樣的近似解法。
18樓：黃豆豆
確實如問題中所說，線性的數學工具所能解決的問題只佔現實世界中問題的一小部分。但是由於非線性問題的複雜性，能解決的只是非常小的一部分。所以對於人類所能解決的問題來說，線性的佔大部分。
目前以混沌和分形為代表的非線性科學是乙個研究熱點，這些非線性現象在很多領域都存在。非線性現象是和相對論、量子理論並稱的二十世紀三大科學發現。非線性現象的研究目前只有幾十年的時間，所以未來會如何並不確定。
對於用線性工具研究非線性問題，這是目前採用的比較多的手段。但是值得指出的是：非線性問題有很多用線性工具無法解釋的地方，因此不能用線性工具代替非線性工具。
可以採用線性工具研究非線性問題的原因在於對於某些問題可以做區域性的線性化，對於某些非線性因素很弱的問題可以用線性工具去做漸進分析。個人認為這些都是不得已而為之的。
19樓：潘曉
引自孟巖《理解矩陣》
L1. 最高次項不大於n次的多項式的全體構成乙個線性空間，也就是說，這個線性空間中的每乙個物件是乙個多項式。如果我們以x0, x1, ..., xn
為基，那麼任何乙個這樣的多項式都可以表達為一組n+1維向量，其中的每乙個分量ai其實就是多項式中x(i-1)項的係數。值得說明的是，基的選取有多種辦法，只要所選取的那一組基線性無關就可以。這要用到後面提到的概念了，所以這裡先不說，提一下而已。
L2. 閉區間[a, b]上的n階連續可微函式的全體，構成乙個線性空間。也就是說，這個線性空間的每乙個物件是乙個連續函式。
對於其中任何乙個連續函式，根據魏爾斯特拉斯定理，一定可以找到最高次項不大於n的多項式函式，使之與該連續函式的差為0，也就是說，完全相等。這樣就把問題歸結為L1了。
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摩爾 我有一些粗淺的理解，供參考。ReLU在正負半軸都是線性的，確實沒錯。但是，它實現網路非線性對映的魔法在於對不同樣本的不同狀態。考慮對於乙個啟用函式只包含ReLU和線性單元的簡單網路 首先，我們考慮有乙個輸入樣本 網路中所有的ReLU對它都有乙個確定的狀態，整個網路最終對的對映等效於乙個線性對映...
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吳江 所謂線性元件是指單輸入單輸出元件的自變數和因變數呈線性。電阻是u i呈線性 電感是 i呈線性 電容是q u呈線性 另，線性電阻電路的疊加定理是利用節點電壓法推理得出。線性動態電路的疊加定理是利用線性非齊次常係數常微分方程進行推理得出。最後，線性電阻電路的疊加定理與線性動態電路的疊加定理是不同的...