1樓：
給樓上稍微補充一下數學中的無限。
實際上對於"無限"這個概念的認識，經歷了好幾千年的演變。
這個概念根植在我們對量(quantity)的認識中。
最一開始是對動物性本能的延伸，就是用指頭(fingers)來具現化(embody)數感(numerosity)，這樣人們之間可以交流"量的資訊"(communicate quantitative infromation)。指頭也作為一種計算工具(instrument)，輔助人們數數(count)和思考數數。這個過程一般叫做reckoning before writing，可能是和人類開始使用火同時期的，從300000BC左右開始一直到可能40000BC左右[1]。
有認知心理學方面的研究發現，數感和空間感(sense of space)有關。考慮到數學中的無限主要指量的無限或者(空間)形式的無限，因此這裡就只談量的無限。
接下來是在骨頭/石頭上刻記號(tally marks)，或者取一些石頭/骨頭堆在一起(tally tokens)，來計數。這個系統就比指頭要高階一點了，也就能允許更複雜的社群活動了，比如集體打獵集體分配，和其他部落談協議、嫁妝什麼的[這裡需要乙個ref]。這個階段大概在40000BC到5000BC左右。
再往後就是幾個文明搖籃出現的，符號數字(numerals)。基本上就是把數(number) 這個抽象的東西(abstract entity)和tally marks/tokens分開了。這樣就有了，數(number) 具現化在(embodied) in (數字中)numerals。
比如古埃及人有十進位制象形符號，古巴比倫人有60進製楔形符號，古印度也有他們的十進位制，古中國大家大概都有點印象就不說了。連瑪雅都有。numeral system基本是civilization的標配，沒有這個認識水平，沒有這樣的"概念工具"(concetual tool/mental tool)，人類不可能組織起來"文明"(civilization)這樣複雜的社會體系。
為了用這些數字計數(認識"量")，各個早期文明都陸陸續續發現和發明了很多演算法，加減乘除是標配，計算乘法可以靠查表，除法可能靠倒數相乘，還有其他一些挺厲害的演算法，比如三角方面的計算(天文和丈量土地)。這個階段對於地中海文明圈來說是在5000BC-800BC。在印度和中國的情況我目前還沒有做研究。
800BC之後就是希臘人搞演繹推理(deductive reasoning)了。把之前具體問題具體演算法，可能還有一些歸納推理(inductive reasoning)，搞成了，證明幾個定理應用於所有情況。也就是基於(deductive reasoning)開始做概念分析(conceptual analysis)了。
在這個時期，有人發現了"不可公比的數"。在那以前靠公比來比較兩個數的大小，而那時認識到了deductive reasoning，所以沒法像以前的古埃及和古巴比倫人一樣強行近似。因此他們就拋開numeral system，把算術關係搞進了幾何裡，叫比例數，propotions。
(從這裡開始突然懶了， 下面開始加速)
這問題就是潛無窮(potential infinite)。就是說他們發現強行近似，可以和窮竭法結合，然後越來越接近，但是這個接近過程永不停，所以並不可能得到最後的結果。證明還得靠幾何。
阿基公尺德都承認他會從窮竭法中找靈感(猜極限值)，然後用幾何來證明[這裡需要乙個ref]。阿基里斯追烏龜悖論就和這個有關。
同時古印度對於數的認識很有趣，可能和宗教有關，他們認為，數可以分成，可以列舉的，不可以列舉的，無限的[這裡需要乙個ref]。
總之這個階段，無限是作為乙個result from a counting process that never stops。當然這裡就有問題了，無限個數加起來還是數嗎？實無窮(actual infinite)的問題也來了。
(以下是飆車)
我們今天可以看到，因為經驗都是有限的，我們只能通過對有限的否定來談論無限，但是這樣談論的無限不是我們想要談論的無限。
2樓：poem
試從現象學的角度來答。現象學區分了感性直觀和範疇直觀。有限-無限實際是限（極）-無限（無極）的對立，有限是人能通過感性直觀就能直接理解的，而無限（無極）的性質其實只是對有限（極）進行否定得到的，是純推理概念而非知覺概念，因而不在感性直觀範圍內。
但無限在範疇直觀範圍內，範疇直觀是一種情境化的集合範圍的直觀，儘管沒法對無限（無極）這個概念進行直接的直觀，但可將無限（無極）這個概念置於一種情境化的整體聯絡裡，由此而在範疇直觀裡得到一種情境化的意義（當然，有限也能由範疇直觀來理解）。例如，可在數學裡來列出各種具體公式來計算各種無限。每個具體的計算情境提供一種範疇直觀，就能在其中給予無限一種具體意義。
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