1樓：天生我材必有用
不請自來。
根據我們小學二年級就學過的泰勒級數，易得：
然後一點點放大它的拉格朗日餘項然後再平方就可以了。
不過話說回來，√3大概是1.732，e大概是2.71828，這些不都是應該要背的嗎，如果不要求寫過程的話，直接這麼比不香嗎？
2樓：free光陰似箭
謝沒人妖。
題主的題目標籤既然有『高中數學』字樣，所以我這兒不打算用高等數學理論來解答。這裡只需要知道e≈2.7和根號3≈1.7即可，而且也不需要知道怎麼推導e，事實上我也不會(滑稽)。
說正題。根號3+1和e比較，就等價於比較根號3和e-1，進一步的，就等價於比較3與(e-1)。我們把常數做變數化處理，也即比較3x與(e-x)在x=1處的大小。
我們建構函式f(x)讓兩函式做差，有
這是個二次函式，如果不導一下，有違高中氛圍，於是
顯然，紅色的結果就是函式f(x)的極值點，由二次函式圖象知，當x＜e+3/2時，f(x)單調遞減，當x＞e+3/2時，f(x)單調遞增。
我們再考慮f(x)的交點，利用求根公式容易得到
由於f(x)的另乙個根位於對稱軸右側，捨去
現在的很直觀的想法就是比較x_0與1的大小，我們約定O為比較符號，有如下推理
我們發現這本質上沒有任何進展，只是兜了一圈而已。所以我們只能考慮某些數值分析來判斷x_0和1的大小。
(待續)
3樓：Barry·吳
背就完了，高中老師說過，根3≈1.732，e≈2.71828，所以顯然根3+1大於e，完事兒
秘訣就是背，背幾個常用數字（捂臉
4樓：Huxley
1、先證明乙個不等式，當 時：
1+\alpha x+\fracx^2-\sum_^\infty\left|\fracx^n\right|" eeimg="1"/>
1+\alpha x+\fracx^2-\sum_^\infty\left|x\right|^n" eeimg="1"/>
2、估算 下界
借助式（1），估算：
\frac\left[1-\frac\frac-\frac\frac-\frac}}\right]" eeimg="1"/>
3、估算的自然對數
令 ，則：
2\frac-3" eeimg="1"/>
0.464" eeimg="1"/>
那麼：2\left(y+\frac+\frac\right)" eeimg="1"/>
2\left(0.464+\frac+\frac\right)" eeimg="1"/>
故有：e" eeimg="1"/>
5樓：
可以用連分式來比較，最近在這裡回答裡面也用過這個方法。如何比較 π－2 與 lnπ 的大小？
可以使用連分式(continued fraction)，整數序列 表示分式
a0為整數，a1，a2，為正整數。然後可以像實數的小數表示一樣比較大小。從a0開始比較，規則為n為偶數的情況下，an大的則大，n為奇數的情況下，an大則小。
先求 的連分式， ,最後一步是分母有理化的結果。繼續這個步驟
。根號3又重新出現了，於是構成了迴圈。
觀察可以發現數字1，2是交替出現，從這個規律可以得到 的連分式為 。那麼 的連分式為 。
e的連分式為 ，可以通過尤拉連分式公式得到 https://
en.wikipedia.org/wiki/E
uler%27s_continued_fraction_formula
。我們可以看到兩者在是第4位出現了不同， 第4位是2比e的1要大，所以 e" eeimg="1"/>。
6樓：趙客
純手工嘛，根號三徒手開方，e可以用e的1次方在e的零次方處泰勒展開，即e=e^0+1/N! N是從1開始的自然數，用到了f(x)=e^x的任意N階導數在x=0處都等於1這個特性
7樓：蘇承心
感覺你是做了某個高中導數題，最後等價於這個
其實不用泰勒也能做的，轉化為對數，然後對對數進行有理拆分即可，你可以參考鄭海明的方法。
8樓：cyb醬
一點點放縮不好嗎……
0" eeimg="1"/>
硬要說記住小數字的話
我清楚地記得
e=2.71828182845904523…√3=1.732050807568877…那還有什麼意思呢（哼(ノ>Д<)ノ┻━┻
9樓：tetradecane
首先按按計算器，猜想 ，然後我們嚴格證明這個結論。
考慮 的極限定義：
根據該定義，對 進行估值。使用二項式定理，展開得對兩邊同時取極限，有
後續證明見 @cyb醬 的回答。
原回答：
我用個「炫技」的方法：把 化成整數，對 採用同樣的化法，就較容易比較了。
【 的計算較為複雜，要用到泰勒公式的拉格朗日餘項。請直接記住 就好。】
設 ，因為 ，我們考慮對 進行縮放：
故 那麼 ，即
【其實要用到 在正區間的單調性。】
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