1樓：樹袋熊
題主該好好複習量子力學了。
能級排斥是指，如果有兩個能級之間發生了耦合，那麼兩個能級的距離會被推大。不管這兩個能級是否簡併，這點都是成立的。具體來說，假設兩個沒有耦合的能級相差 ，那麼我們可以把這個二能級系統的哈密頓量寫成 。
在兩個能級之間引入一點耦合則哈密頓量變為 ，求解其能譜，得到新的能級差為 \Delta" eeimg="1"/>。 所以，要問兩個能級是否會排斥，要先問兩個能級之間能否引入耦合？
下面我們看能帶裡的能級排斥是怎麼回事，也就是所謂布里淵區邊界開能隙。我們假設能帶有兩支，第一支 ，第二支為 ，這兩支能帶在 簡併（偶然簡併）。根據平移對稱性不同k點上的態之間是沒有耦合的，因此只能在E1與E2之間引入耦合。
我們假設耦合之後的哈密頓量為 ，其能譜為 。可以看到，在布里淵區邊界上開的能隙為 。
最後再來回答題主的問題：（1）布里淵區里的能級排斥被忽略了嗎？（2）能級排斥影響能帶連續性嗎？
（1）沒有忽略，上面的例子裡就完整考慮了能級排斥。只是需要注意不同的k之間是沒有能級排斥的，只有同乙個k上的不同能帶之間才有能級排斥，這是平移對稱性保證的。（2）當然不影響，能帶連續性是指 ，而如上所述 與 之間的耦合（或能級排斥）是被平移對稱性禁閉的。
2樓：
排斥只是一種微擾法求解系統能譜時，對能級相對於非微擾能級變化的形象描述。假如可以解析求解的話，能級相互排斥這種說法就是沒有意義的。
你的問題等價於是在問猜想「已知 厄密且，那麼任意 都有 在 附近是 的增函式」是否成立。
我們已知的是對於簡併的 結論是成立的，但對於一般的能級，個人覺得和運算元本身以及能級都有關係，結論並不確定。
物理結論追求一般性，我們之所以會有「能隙形成是因為布里淵區邊界簡併能級相互排斥」這種形象的說法，是因為我們知道前面提到的那個「數學猜想」對於簡併能級是一定成立而且與運算元 性質無關。對於一般的運算元和能級，即使偶然滿足了上面的「猜想」，我們也不會稱這兩個能級「相互排斥」，因為不具有普遍意義。
3樓：
先說結論
1）能帶內部能級準連續，意義是在thermodynamics limit，就是連續的
2）能級排斥的本質是近簡併能級的耦合
3） 近簡併能級的耦合隨著能級之間能量差增大而減小。
具體來說。
1）簡化問題，考慮1D lattice。晶格常數是a，總長度是aN。
稍微簡單一點，用tight binding model，那麼得到的能帶是
那麼在離散的k_n 下，得到的是離散的能級，但是我們可以看到相鄰兩個能級的能量差
上面兩個箭頭，表示取極限N-> +\infinite.
所以我們看到，在thermodynamics limit，能帶之中的能級之間的間隙是0，這也是為什麼我們叫他們是連續的。這與Brillouin Zone 邊界上的Gap，是不同的。在Brillouin Zone 的邊界上的能級的能量差，即便在在thermodynamics limit，依然是finite的，這是本質區別。
所以我們叫這個能量差是「能隙」。
2）至於Brillouin Zone 邊界開啟Gap，這裡我想用Free electron picture來解釋。
Free Electron 的能譜結構是(扔掉了其他的constant，設為1)
Brillouin Zone邊界實際上是等價點，i.e. 是同乙個點，那麼我們也就可以把能帶複製過去，恰好在Brillouin Zone 邊界上相交。
我們考慮週期勢場，恰好可以couple 兩個相交的能譜。在Brillouin zone 邊界，取這兩個相交的能譜作為Basis，整個系統的Hamiltonian 可以寫成2x2矩陣的形式。相交能譜的原本能量，給出的是Diagonal Elements，週期勢能給出Off-diagonal elements。
E_1, coupling
couping, E_2
(話說，怎麼在這裡輸入矩陣啊～就先寫成這樣吧)
假定E_1<=E_2, 那麼兩個eigenvalue，肯定乙個小於E_1，另乙個大於E_2。
E_1' = E_1 - delta_1;
E_2' = E_2 + delta_2;
這裡 delta_1, delta_2都是正數。
這樣，就得到了所謂的「能級之間的排斥」。這種「排斥「的本質，是近簡併能級之間的耦合。
3）如果近簡併能級之間的能量差增大。
我們可以採用非簡併的微擾論來處理問題。那麼對於非簡併微擾，不同的態之間的耦合係數，是和能量差成反比的
= |n> + \sum_m \frac{}" eeimg="1"/>
可以看到，係數隨著E_n-E_m 增大而減小。這也從另乙個角度解釋了，為什麼在簡併微擾下，我們只考慮簡併態。
我們從Brillouin Zone邊界，移動到Briilouin Zone 內部，那麼此時能級差變大，從而導致微擾係數變小。
4樓：
微繞有個「微」字，意思就是影響可以小到忽略不計。只有非擾動能差趨於0的時候才有意義，也就是簡併的時候。布里淵區邊界只是剛好簡併而已，其它地方你就算算出來了也小的看不到
5樓：白胖球
準連續就是用微擾論得出的啊。。非簡併微繞也考慮了能級相互作用嘛。。因為在一般情況下，也就是非邊界區的非簡併微擾是真。
微擾，然後發現貢獻小就直接用本徵態來代替了，仔細想了想就算是考慮不同本徵態也應該是連續的。
但是非簡併微擾實質上是泰勒展開的前兩項，因為在非布里淵邊界處可以看作小量，方才用了前兩項近似。到了邊界處高階展開不再是小量，才必須考慮其他本徵態的影響，進而偏離了原來的本徵值。
所以排斥是不確切的說法，只是表達能隙形成的乙個形象說法。
量子力學賊雞兒難。。。
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