1樓：趙明毅
如果把洞和球都看成點，那麼幾乎處處不能進洞（有理數測度為零），如果把球看成點把洞看成鄰域，那麼平移以後處處進洞。（沒有幾乎，因為有理數是稠密的）
在洞看成點時，還有一點是球的軌跡也是稠密的。
做一點補充，這裡預設「格點」（就是2個袋之間的距離）是1，所以生成的是Q，一般情況下生成的是Q（a+b），但是不影響最終的結論。球的軌跡在a和b和0和1時不稠密（0和1分布代表水平和豎直）
這其實是個大一級別的代數問題。
2樓：Mr.Tsui
之前也考慮過類似的問題，在乙個由鏡面製作成的長方形的某個邊開乙個極小的孔，一束平行於水平面的光源從小孔射進，當光源滿足什麼角度條件時正好可以從小孔射出，求能夠滿足條件的全部解
3樓：劉暢
補充一下 @趙新華 的回答，給出他答案中斷言的嚴格數學證明：
根據weyl準則， 在 均勻分布，所以所有的無理數方向都會進洞，而有理數方向是零測的，這就說明球洞比球大的時候以概率1進洞
4樓：衝波
這道命題不嚴謹。反證這道命題。我擊球的方向垂直與檯面，球會來回彈，只要球的初始點不在檯面邊緣和兩中袋的連線上，那麼只要垂直於檯面的方向擊球，球絕不會落袋。
如果球在中袋的連線上，只要向短邊的檯面垂直擊球。球永遠不會落袋。所以應該加一句。
不能垂直於檯面擊球。
5樓：
為什麼你們就不能列乙個方程？最高票的看起來比較簡單，其實還是複雜化了，而且要求起始位置在球洞上。
另外，他的第二種假設（即球洞是洞，球為質點），忽略了一些切線導致的問題。
這裡先假設球和球洞都是質點。如圖，我們另球起始位置的左下為零點(0,0),可以得出球的座標為（x0,y0），另外右側給出了座標軸的方向。
很明顯，如果球入洞，則球運動的直線同橫線的焦點將會同球洞重合，因此在最低橫線的投影，兩者重合。我們可以畫出下圖分析：
根據週期性，我們可以發現，S就是每兩根橫線之間球軌跡在X軸的投影。
如果球入袋，則會有：
同時有：
合在一起就是：
這個就是通用公式了。
我們簡化一下，假設橫向縱向距離相等，即：
並且起點在球洞上：
公式會變成：
結論：注意，m和n都是任意整數，因此，所有餘切為有理數的夾角都一定有解，所以餘切為無理數的夾角，則一定無解。無解，說明公式不成立，則不能入袋。
但是如果初始位置不在球洞上，則情況有變化。比如說x0=0.5*D, y0=0.
你只要角度為90度，就怎麼也不可能入洞了。
表現在公式上就是：
1/2*D+0*L =n*D
顯然上述方程左右是不相等的。
未完待續......
6樓：徐藝哲
簡單總結一下：
洞比球大，則進洞的概率為1，但不必然進洞。
洞和球一樣大，則進洞的概率為0，但不必然不進洞。
洞比球小：必然不進洞。
洞足夠大（佔滿撞球桌）：必然進洞。
弄明白概率為1的事件不一定是必然事件就好了。
7樓：金由
別的回答都非常「經典」了，也不必說了。
但是，巨集觀物體運動依然具有不確定性，如果彈無限次，不論什麼角度、什麼「迴圈」，也必然可以入洞。
8樓：胖大海
我認為除了特殊角度(球的發射角度剛好與兩球洞的連線平行)是必然進洞的。
參考最高票的答案：y/x為有理數時必然進洞。
而無理數的情況下，最高票忽略了球洞本身的大小。
在實際情況中，你並不需要100%精確地瞄準球洞才能進入，有一點偏差也是可以進的。
誠然無理數的數量是有理數的無數倍，但這些有理數覆蓋所有能進球的情況還是足夠了。
9樓：黎明前行者
不一定，如果球的軌跡在經過有限次碰撞後任然以相同的角度撞擊到相同的點且在此之前的軌跡中未碰到任何球，那麼在外界條件不改變的情況下球是不會停的，並且無限迴圈下去。而且不會有球進洞。
結論：存在無限迴圈，無一球進洞。
10樓：王大毛
我就大概這麼想想，應該有很多位置和角度的組合，使得小球的運動路徑能夠被約束在乙個範圍之內而無法到達所有位置吧，迴圈往復，即所謂的週期解。
11樓：
stein的fourier analysis講傅利葉級數應用時有過類似的問題，就是在正方形內一束光不斷反射最後反射點會不會稠密，原理是n倍無理數的小數部分在(0,1)稠密當n趨於無窮時。
好後悔當時沒有轉數學呀
12樓：「已登出」
貌似並不行，我曾根據反射原理作圖得到幾個特殊通路，在這幾個路徑下光線會經過三至四次反射回到光源，甚至存在特例可使光線在此光路下無盡迴圈。
你有興趣也可以試一試，很簡單的，記得初中數學題中就有類似的，不過那是三角形中的情形，不過四邊形甚至其它多邊形中的情況都與三角形中相似，只是略複雜一點，思路都一樣的
13樓：黃天宇
我不懂原理。
不過，我也能知道這個球也有一定的概率會陷入某種無限迴圈的運動狀態。
比如，最簡單的，把球沿著平行與球桌邊沿且不向著洞口的方向擊出。
哦，題主說了不能這樣打，但除了這樣以外，也應該可以計算出很多別的角度來實現無限迴圈吧？
14樓：peter58228
這是個邏輯問題而非數學問題。
問題裡打球的是人 (非理想條件)，基於上帝不畫直線的道理 (有興趣的話也可以去了解一下測不准原理)，世界上不存在絕對平行且筆直的台邊，也不存在絕對水平且平坦的檯面 (注意看 ! 命題中並沒有將台邊和檯面假設為理想條件)，人也打不出特定角度，更何況是任意打，所以必然會進，別想得太複雜。
此外，若從物理的角度來看，即使將台邊和檯面假設為理想條件，又碰巧打出了乙個可以進入無限迴圈的角度，但由於球檯是在地球上，受地球自轉和月球引力的影響，球的路徑還是會偏移，千萬年後還是會入袋。
如此一來我們就可以說球絕對會入洞了。
15樓：yiba
前面很多回答提到根據反射對稱性而做的二維矩形格點簡化，其實就算不簡化道格點，而考慮上球與洞都有大小，在無摩擦的剛性碰撞前提下也依然可以輕易地找出很多不進洞的解來：
1.二維矩形格可以以格點為基點畫出很多間隔足夠寬的平行線，
2.如果這個寬度就是保證球不進洞的球心與洞心偏離距離，那麼所有這樣的平行線方向就都是不進球的方向，其餘的就是一定進球的方向。
16樓：Calardaras
首先補習一下反射的對稱性
有了個這個性質，就可以把桌球臺填充滿整個平面了！
國際標準美式桌球臺的規格是
2840×1560×840（mm）
以任乙個在角上的球洞建系，
總共六個球洞分別在(0,0)(0,1560)(1420,0)(1420,1560),(2840,1560)
擴充套件到整個平面有通式h=(1420a,1550b)其中a=(0,1,2....),b=(0,1,2.....)設發球點P為(x,y)，且p≠h
易得，當且僅當發球角度θ=arctan((y+1420a)/(x+1550b))時球才能入洞。
arctan在(-∞,+∞)上連續，所以除了θ=kπ/2，其他都是解ps:其實就算是θ=kπ/2，球最終也會在無窮遠處掉進洞裡
17樓：
這不是標準答案，只是參考，勿信。
只要球能返回一次出發點，則此球將永遠不進。否則永遠都進。
但是：球在運動中撞擊邊超過3個（起點邊也算），如果發球點在邊上，球將有∞個機會回到原點，如果發球點在角點，則球將不會回到原點（撞擊邊超過3個）則進球概率為1/2。
如果球撞擊邊只有兩個（起點邊也算），則進球概率為0如果球撞擊邊只有乙個，則進角點，必進。
18樓：
首先物理簡化一下——認為只有撞球與球洞嚴格同心，球才會落袋。同時球嚴格走直線、嚴格遵循反射定律。
然後數學等效一下——把碰撞看成一種映象過程，問題等價於：在二維無限矩形格點上，任意畫一條直線，是否一定會經過某個格點？
再代數等效一下——令相鄰的撞球洞的距離為單位長度，問題就變成：二維座標系上的任意一條直線，是否一定經過點P(a,b)，使得a、b同時為整數。
設直線斜率為k，初始位置為(a0,b0)時：
由於有理數 x 無理數 = 無理數，對於方程y-b0=k(x-a0)
若k為有理數，a0為有理數，b0為無理數時，x、y不可能同時為有理數——很容易證明，k為有理數時，即為週期解的情形；
若k為無理數，a0、b0同時為有理數時，x、y不可能同時為有理數；
結論：無論朝哪個方向擊打撞球，總能找到乙個合適的初始位置，使得無論經過多久，撞球都不會落入球袋。
更新線
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