1樓：
我曾經在組會上略講過一些格點規範理論的內容，但並不是這方面的研究者。在此略作概述。
格點規範理論，按定義來說，是乙個lattice theory with a symmetry group that scales with the volume of the system (the gauge group). 最出名的例子莫過於大名鼎鼎的lattice QCD; 在這個場景下，可以將QCD的時空離散化，以精確地數值求解QCD的各種關聯函式，甚至在strong coupling時仍可以實現。這對於了解QCD在紅外的行為很有意義。
格點規範理論的中心無疑是兩點：1. topological excitation：
不管是kink，還是像toric code當中的e, m particle都是很好的例子。2. asymptotic freedom:
這一塊是lattice QCD的區域。據稱可以用此方法嘗試理解夸克禁閉等問題，不知進展如何。
我更熟悉的格點規範理論一般和自旋有關。最簡單的是Wegner在2023年寫下的Ising gauge theory。考慮正方體晶格，每條邊上有乙個spin 1/2。
Hamiltonian是 in which p runs over plaquettes of the lattice, 則是這個plaquette四條邊上的spin的 的乘積。這個模型具有的gauge group的generator是 ，in which v runs over vertices of the lattice；這裡的i runs over bonds that links to v。
Ising gauge theory具有大量的duality。2D Ising gauge的dual是1D Ising; 3D Ising gauge的dual是3D Ising。如果將2D Ising gauge的Hamiltonian加上所有的gauge group generator，則得到 ，也就是我們熟知的toric code。
Toric code對於研究拓撲序的意義，自不必說。
Lattice U(1) theory的研究也很有意思。在4d U(1) theory中我們見到了KT transition，因為它dual to 2d XY model。尤其值得注意的是，在冷原子/超導量子位元/離子阱系統當中，實驗模擬lattice U(1) theory在這幾年是很受關注的。
最近的例子比如arXiv: 2003.08945。
前些年的例子也可以在它的reference中找到。
這些知識無疑都是上世紀七八十年代就為人熟悉的內容，更詳盡的論述可以在Kogut的RMP中看到。最新的進展，還請大家多多補充。
2樓：
這是乙個好問題，但先看維基百科介紹吧。我多講一點維基百科上看不到的東西。
格點規範理論是一種建立在格點系統上的規範理論，也稱為離散時空上的規範理論（格點系統，表示離散化時空），是一種離散化的非微擾的量子理論。例子有QCD，圈量子引力和弦網凝聚。
格點規範理論也分為拉格朗日形式和哈密爾頓形式，還分為歐式的格點規範理論（非相對論性的）和閔式的格點規範理論（相對論性的）。威爾遜發現純規範理論有乙個非常自然的離散化，帶有物質場的規範理論也有乙個自然的離散化。
帶物質場和不帶物質場的格點規範理論都有好的數學結構，前者的量子化得到的是自旋網路(要利用緊李群的皮特-外爾定理)，後者的量子化得到的是quiver（箭圖）的表示理論。
格點規範理論可以變成背景無關的，其歐式和閔式版本分別用弦網凝聚和因果凝聚描述。
格點規範理論的好處是有利於發現量子場論的非微擾結構，適合數值計算，可以發展非微擾的重整化理論，背後有良好的數學結構。背後的數學理論有群的表示論，quiver的表示論。
推薦文章：(1) Spin network in gauge theory， Baez, Advances in mathemtics.
(2) String-net condensation: A physical mechanism for topological phases,Phys.Rev.
B71 (2005) 045110.
（3）Tensor Network Renormalization
（4）Kan擴張和因果凝聚，
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