當 A 可逆，為什麼 X A B 不可以直接按 X B inv A 算？

1樓：胡一鳴

條件數糟糕的矩陣，用反斜槓算符一樣誤差很大，這是線性方程組本身的性質。

在MATLAB裡，反斜槓\算符會根據矩陣的型別做不同的分解(見 @冷凍青蛙的圖，在反斜槓算符的官方文件裡可以找到)，而inv則一股腦地LU，效率(不管是時間效率還是空間效率)在大規模運算時不高。

2樓：PHOBIA

除了其他答主提到的耗時和誤差問題以外，還有乙個很重要的問題——記憶體不夠。

舉例來說，我們考慮乙個2維Poisson問題的差分方程。對於每個維度有個剖分的情況，對應的矩陣是5對角矩陣，只需要儲存最多個元素。做完Cholesky分解後L大約是N對角矩陣，也只需要儲存個元素，也就是說需要的記憶體是。

矩陣A (N=21)

矩陣A的逆 (N=21)

矩陣L的轉置 (N=21)

但如果希望對該矩陣求逆，你會發現一般稀疏矩陣的逆往往都是不稀疏的，幾乎所有元素都非0，所以儲存逆需要的記憶體是。

而和差別有多大呢？實際使用的時候N至少也有幾百，matlab可以在幾分鐘內求解，帶進去卻會發現記憶體占用有幾百倍的區別了，這時其實matlab就會告訴你求逆操作記憶體不足啦。以上是2維情況，到3維的時候矩陣就變成了階，區別也更加明顯。

記憶體占用某種意義上是比耗時更嚴重的問題，畢竟如果記憶體不夠用的話，等再久也出不來結果嘛~

3樓：不zz的zz

看了下，多數回答都說的是為什麼不可以。顯然，這不是絕對的，如果用到的演算法需要多次應用A的逆，且求逆矩陣在精度方面還行(條件數)，那當然要求，然後存下來多次用啊。

4樓：

誤差比較大。如果A的行列式很接近0，那麼取逆矩陣的時候誤差就會很大。在MATLAB中，B/A和B*inv(A)是不一樣的，前者是通過QR分解計算的。

如果你採用了後者的寫法，MATLAB的編輯器也會建議你修改為前面一種寫法。

5樓：冷凍青蛙

答案是可以用，但是不一定「安全」。關於求解線性方程組或者最小二乘法上已經有更好的演算法了。最好的例子是MATLAB裡的mldivide指令 "\"在理論計算裡計算會出現以下幾個問題：

對於ill-conditioned matrix（雖然更應該怪矩陣本身）、處理稀疏矩陣時的低效率等——使得我們一般選擇「退而求其次」追求計算成本更小、計算速度更快的穩定「近似」演算法。

在計算中（用高斯消元法）到底有多準？

在這裡用到了的conditional number，代表著待解問題是否穩定，換言之條件數越大，在求解線性方程組這個問題裡誤差就會越大。可逆矩陣的condition number不一定小

但其實在matlab裡，inv指令為了穩定，其實使用的就是LU分解。但是為什麼這樣還是不好呢？

考慮問題的實際意義，直接計算逆矩陣並且相乘並不是乙個好演算法

我們不考慮是不是個「好矩陣」。在計算中，我們對乙個數值演算法的最低要求就是backward stable，簡單的來說就是計算解對於略微錯誤的問題是精確的。那麼作為乙個演算法，求逆（不管求逆用的什麼方法）並且相乘，這個過程不是穩定的，但也有特例[1]。

最後附乙個MATLAB mldivide的演算法圖，感受一下真正的高效和通用：

感覺很慢？其實很快哦！

對於一般ill-conditioned matrix，使用"\"指令都可以帶來兩到三倍於inv(A)直接相乘的速度，是不是心動了呢？原始的演算法好懂，但不一定穩定而且高效，在數值計算裡看起來好懂不等於優秀的演算法

6樓：Epsilon

仔細看了下好像是計算數學的問題？那麼正如其他答主所說的求逆陣的演算法複雜度過大（比如Gauss消去法是O（n^3）量級），而使用其他方法（比如Jacobi迭代）可以將複雜度降低至O（n^2）.