1樓：Bingyan Liu
我們假設讀者了解域論的基本概念.
為保證答案的可讀性，會重複造一些輪子.
造輪子主要參考文獻: Artin, Algebra.
定義準備
我們把僅利用無刻度直尺，圓規和等軸雙曲線規在空白平面上，基於兩個給定點 的作圖，稱作單尺雙規作圖（聽起來有點怪怪的）.
定義中初始點 的目的一方面是規定單位長度，一方面是保證可以做圖 （少於兩個點無法做確定的直線和圓）. 這裡可以將其看作直角座標系的原點和 點.
我們首先給定等軸雙曲線規的作圖約定，給定任意三個不共線的點 ，等軸雙曲線規可以做以 和過 與 垂直的直線為漸近線，過的等軸雙曲線，注意到這樣的雙曲線是存在且唯一的，記為 .
按遞迴的方式定義尺規單尺雙規作圖的可構造點：
是可構造點，
過兩個可構造點所作的直線，以乙個可構造點為圓心，過另乙個可構造點的圓，以及給定三個不共線的可構造點所做的雙曲線，稱作可構造曲線，
可構造曲線的交點是可構造點.
單尺雙規作圖可以解決什麼問題，取決於可構造點有哪些. 為了說清楚「哪些」的含義，我們對可構造點進行代數刻畫.
代數刻畫
分別以 為原點和 點構造直角座標系，定義 是可構造數，如果存在可構造點 以 為橫座標. 可構造數全體記為 .
這個定義看似不對稱，但由於單尺雙規作圖可以實現繞原點的旋轉和在座標軸上的投影，則對於可構造點 ， 均為可構造數，以及若 是可構造數，則 是可構造點.
命題1集合對四則運算封閉，從而構成有理數域的擴域.
證明概要： 加法可以通過構造平行四邊形實現，乘法和除法可以通過構造相似三角形實現. 以除法為例，取 0" eeimg="1"/>為正可構造數，做過 的垂線 與過 的垂線 ，做 , 連線 與 交於 , 則其座標為 .
設 為域，且 是 的擴張. 稱鏈 為二次擴張鏈，若域擴張次數均為2，即 在特徵為 的情況下，二次擴張可以通過新增平方根得到（通過平移消去最小多項式的一次項），即 . 記從有理數出發，可通過二次擴張得到的數全體為 ，即 當且僅當存在二次擴張鏈 使得 且 .
引理1集合 構成域.
證明：設 可通過二次擴張得到，即存在二次擴張鏈使得 且 ，存在二次擴張鏈使得 且 ，則考慮擴張鏈，其中 是 , 可以證明 , 從而該鏈去掉重複項後是二次擴張鏈，且使得 且 ，從而 . 因此 是域.
命題2域 對開方運算封閉，從而 是 的擴張.
證明概要：對於可構造數 , 可通過構造以 為圓心，過 的圓與直線 的交點獲得 .
到這裡裡我們一直沒有用到等軸雙曲線規，從而結論略作修改後對於經典的尺規作圖都是成立的.
定理1特別的，域就是尺規作圖的可構造數.
證明概要： 按定義，中元素均可通過反覆新增平方根獲得，而平方根是可構造的. 反之，我們要說明尺規可構造數包含在 中，證明這一點，注意到可構造數是可構造點的座標，而可構造點是可構造曲線的交點，而可構造曲線（直線和圓周）是係數為可構造數的方程的曲線.
圓與圓的交點可看做圓與直線的交點，從而通過代換，最終可構造數是係數為可構造數的二次方程的根. 這表明可構造數即為.
注：尺規作圖不能實現三等分角的原因即為，按定義可以得到尺規作圖的可構造數的次數均為 的冪，若可以三等分角，則 是尺規作圖的可構造數，但 ，矛盾.
現在我們引入等軸雙曲線規，考察 作為 的擴張加入了哪些元素.
首先我們要給出過三個單尺雙規可構造點的等軸雙曲線的方程的形式.
設可構造定點座標為 ，通過簡單的計算可以得到 上點 的方程為： ，其中 ， ,而常數 ， .
由於等軸雙曲線的中心 和決定漸近線方向的點 的點均為可構造點，故可以通過平移旋轉將等軸雙曲線移動為 ，其中 是可構造數.
因等軸雙曲線規加入而新增的可構造數是雙曲線方程與直線，圓和雙曲線方程聯立所得的方程的解.
情形一直線與雙曲線聯立仍然是二次方程，不產生新的解
情形二圓與雙曲線聯立，由於等軸雙曲線的中心 和決定漸近線方向的點 的點均為可構造點，故可以通過平移旋轉將等軸雙曲線移動為 , 聯立圓的標準方程 ，整理得 ，其中 , 4F" eeimg="1"/>， 均為可構造數.
情形三雙曲線與雙曲線聯立，仍然可以按照如上方法將其中一條移動到標準形式，另一條係數的可構造性不變，座標仍用原來的記號. 若 則有兩雙曲線的交點可以轉化為雙曲線與直線的交點，歸結為情形一，故不妨設 ，則有方程為 ，其中 , . 進一步化簡得到 （媽耶記號不夠用了）
，聯立得到 ,
其中 .
我們關心的是係數滿足的約束而不是具體的方程形式. 粗略的說， 是自由的， 用掉 的自由度後成為自由項，而 在 時用掉 的自由度後成為自由項， 用掉 的自由度後成為自由變數，則該類方程可表為 .
設 為域，且 是 的擴張. 稱鏈 為雙曲擴張鏈，若域擴張可通過新增多項式 的根得到，這裡多項式的係數滿足如下條件之一
4a_2, a_4>0" eeimg="1"/>,
,則稱該擴張鏈為雙曲擴張鏈. 記從有理數出發，可通過雙曲擴張鏈得到的數全體為 ，即 當且僅當存在雙曲擴張鏈 使得 且 .
定理2.
注1：倍立方問題可解. 因為 是方程 的根，這裡採取第一類條件，.
注2：三等分角問題可解. 因為若 是可構造的，則 適合方程 ，滿足第二類條件.
一般的，域對三次方程求根運算封閉.
到這裡我沒有回答「能解決怎樣的問題」，因為……這樣問沒辦法回答.
我只能抽象的說，所有能化為單尺雙規域擴張的問題都可以被解決.
2樓：陳斌
可以任意等分角?如果你證明了,你應該清楚是什麼樣的數(域).比如尺規數就是有理數(加減乘除)及其2^n次方開方運算復合.
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