1樓：江芷微
值得注意的是改變第五公設會得到完全不同的幾何體系。
接下來摘錄準備定理的證明，需要準備的是我們所熟知的「內錯角相等，兩直線平行」。
其中定理1.16是指三角形外角大於內對角。下面摘錄目標定理的證明。
這裡定理1.15是對頂角相等，定理1.13是指兩直線相交所形成的（同側）夾角之和是兩直角。
如果想要更深入了解的話，可以看完幾何原本的第一卷，感受一下真正的數學推導。推薦蘭紀正，朱恩寬老師的譯本。
2樓：
這取決於你想要什麼樣的證明。
在你承認幾何原本所有公理和前四條公設的情況下，以下這些命題等價。
0. 如果一條線段與兩條直線相交，在某一側的內角和小於兩直角和，那麼這兩條直線在不斷延伸後，會在內角和小於兩直角和的一側相交。（歐幾里得第五公設）
兩直線平行，同位角相等。
兩直線平行，內錯角相等
兩直線平行，同旁內角互補
給定一條直線，通過此直線外的任何一點，有且只有一條直線與之平行。
平行關係具有傳遞性。
如果兩條直線平行，那麼如果第三條直線與其中一條相交，則必與另一條相交。
如果兩條直線平行，那麼如果第三條直線與其中一條互相垂直，則必與另一條互相垂直。
如果兩條直線平行，那麼存在無數條直線與它們兩個都垂直。
如果兩條直線平行，那麼存在至少兩條直線與它們兩個都垂直。
如果兩條直線平行，那麼其中一條直線上的任何一點到另外一條直線上的距離都相等。
存在兩條直線，使得其中一條直線上的任何一點到另外一條直線上的距離都相等。
對於任意一條直線，它一側所有與它距離為一固定常數的線構成一條直線。
所有三角形內角和均為180度。
存在乙個三角形內角和為180度。
所有三角形內角和都相等。
所有三角形都有外接圓。
存在相似但是不全等的三角形。
如果四邊形有三個內角是直角，那麼第四個內角也是直角。
存在矩形。（四個角都是直角的四邊形）
勾股定理
勾股定理的逆定理
餘弦定理
已知乙個三角形和一條線段，總可以構造乙個三角形使得這個三角形和給定三角形相似，且以這條給定線段為邊。
三角形的面積沒有上界。
平行四邊形對邊相等。
平行四邊形對角線相互平分。
半徑為r的圓的面積是πr^2
半徑為r的圓的面積是乙個關於r的多項式。
直徑所對的圓周角是直角。
也就是說，這30條如果你預設其中一條是對的，那麼剩下29條都能被證明。
但是如果你只預設歐幾里得公理和前四條公設的話，這30條你都證明不出來。
歐幾里得寫幾何原本用的是他的第五公設。但是第五公設表述太過複雜。所以我個人建議預設「兩直線平行，同位角相等」是正確的，然後推出剩下29條。
3樓：y'Lccc
既然你說你是在上課的時候學到的，那我覺得我可以採用乙個相對簡單粗暴的辦法來解決這個問題。
這個命題不需要證明。
下面我簡單說明為什麼不需要證明，以及它嚴格的證明方法，可以選擇閱讀。
初中所學的都是平面幾何，專業一點叫歐式幾何，這些內容都是基於若干條公理展開的。而公理，就是所謂「不需要證明，只需要承認它是對的」的定理。簡單來說，直接承認它對的原因是「它過於顯然」。
你承認哪些公理，就會得到哪種幾何體系。（如果你認定，過給定直線外一點可以做兩條不一樣的直線與該給定直線平行，就會得到非歐幾何體系，這在廣義相對論與微分幾何學裡非常有用，但這就不是平面幾何的公設）。在平面幾何（歐式幾何）中，有以下幾條公理：
兩點之間有且只有一條直線；
有限直線（線段）可以任意地延長；
以任一點為圓心，任意長為半徑，可以做乙個圓；
直角都是等大的；
兩條直線被第三條直線所截，如果同側兩內角和小於兩個直角，那麼兩直線會在這一側相交。
而同位角相等，內錯角相等和同旁內角互補的定理，都是基於這幾條公設得到的。初中在講解這部分內容時一般都是通過動手測量得到這個結論。因為嚴格的數學證明需要對每一步的成立都做出乙個合理的解釋，而對初中生來說諸如「一條直線截兩條平行線會產生兩個交點」是非常顯然的，很難說明這個東西為什麼還要乙個「合理的解釋」，解釋這些太過繁瑣，也拖慢授課程序。
它的嚴格證明如下：
設有兩條平行直線AB,CD，則它們可以無限延長（公理2，保證這樣兩條直線的存在性）
並且有直線EF，截AB於點G，截CD於點H。（公理1保證了交點的存在性）
引理：對頂角相等。（如若不然，會有乙個關於兩點一線的矛盾產生，證明簡略。）
所以∠AGH=∠EGB。
接下來，我們證明內錯角∠AGH和∠GHD相等（這也是對內錯角相等的證明），進而∠EGB=∠GHD。
反設二者不相等，則其中乙個更大。不妨設較大的角是AGH（雖然在這幅圖里「看」起來是AGH更大，但在此之前我們也必須先明確「角更大」是怎樣的概念，這屬於歐式幾何的定理。所以在這裡，「不妨設」是一種不失一般性的證明，或者說，哪怕真的是GHD更大，我們也可以同理證明）。
那麼∠AGH>∠GHD，那麼∠AGH+∠BGH>∠GHD+∠BGH
引理2：兩條直線相交，在某一條直線同側的兩個角之和為兩個直角。（證明從略）
但是，AGH+BGH=90°+90°（引理2）
所以∠GHD+∠BGH<90°+90°
但是由公理5，將兩條直線AB,CD無限延長，他們會在兩角之和小於兩直角之和這一側相交，所以無限延長AB,CD，他們必然相交。但這與AB,CD平行矛盾。所以∠AGH不等於∠GHD的假設錯誤。
得證。[1]
能否嚴謹證明 兩直線平行，同位角相等 及一系列與之等價的關於內錯角 同旁內角的 公理 ？
hhx呵呵俠 我是這麼想的 事先宣告一下，這個證明是我想的，可能不嚴謹，大家寬容一下。建立平面直角座標系，兩條平行線中的一條穿過原點，與 軸的夾角為 另一條直線與 軸夾角為 那麼兩條直線解析式可以表示為 與 根據第五條公理，這兩條直線不相交，故 與 沒有交點，即連理解析式無解。即 無解。直接循規蹈矩...
兩條重合的直線在數學上是視為一條直線嗎？
簡潔的回答是 通常來說，會視為兩條直線。稍微展開點的回答是 這是乙個定義問題，或者說，這是乙個觀念性的問題。這種問題有乙個特點 只要不和現有體系矛盾，你想怎麼定義就怎麼定義，你想怎麼看待就怎麼看待。回到這個問題，你視為一條直線還是兩條直線，關鍵在於你想幹嘛。如果只是單純研究乙個幾何題，那你沒必要把一...
n 條直線兩兩相交，最多有幾個交點？
在前 條直線兩兩相交且任意三線不共點的基礎上，新增的第 條直線可以與前 條直線都相交，且依然保持任意三線不共點，這樣會多出 個交點 而一條直線沒有交點，兩條直線乙個交點 所以 條直線交點個數就是 或者你直接用組合數來考慮 因為任意兩直線有唯一交點，且任意三線不共點 所以 至於這種 條兩兩相交且任意三...