四面體四個面的面積分別是s1,s2,s3,s4，體積的範圍是多少？

1樓：切我

關於如何用面積確定四面體，我們首先引用一下閔可夫斯基定理：對於歐式空間裡的一組非零向量，如果它們的和為零、生成整個歐式空間且兩兩不同向，那麼一定存在乙個凸多胞體，其每個面對應乙個向量，使得該向量的方向為該面向外的法向量且該向量的長度等於該面的體積。所有滿足這些條件的凸多胞體只相差乙個平移。

也就是說，對於凸多面體，只知道各面面積是不能確定多面體的，但是如果還知道各面的方向，這就足夠了。下面我們來考慮四面體的情形。

對於四面體，我們說明如何在已知、和的情況下求出、和。（剩下乙個面。）

實際上，已知的三個（行）向量可以組成乙個 3×3 的矩陣，這個矩陣恰好是未知的三個（列）向量組成的矩陣的伴隨矩陣。對於可逆 3×3 矩陣，其伴隨矩陣。因此，由此我們可以從得到。

如果、、、皆為正且最大的數小於另三數之和，我們可以找到和為零的四個不共面的向量，其長度分別為、、、。取其中三個向量組成乙個 3×3 矩陣（注意手性，保證行列式大於零），再利用上面的操作就可以得到所要的四面體了。

現在我們來考慮這樣的四面體體積可能的範圍。記那四個和為零的向量分別為、、、。易知四面體的體積是要求的四面體的體積的平方的常數倍。

問題可以轉化為如下問題：已知乙個四面體的重心距四個頂點的距離，求這個四面體體積可能的範圍。顯然四面體的體積可以無限接近，因此四面體的體積也可以無限接近。

對於體積的最大值，注意到在的中點和的中點的連線上。以這條連線為軸旋轉三角形，得到。依舊是的重心。

注意到的體積是、和的混合積的常數倍，這意味著要想體積更大，需要將平面與平面調整到垂直。這說明在體積最大時，與垂直、與垂直、與垂直。此時我們有與垂直、與垂直、與垂直，也就是說在已知四面面積時，四面體在體積最大時對邊垂直。

剩下的事情就是計算體積的最大值了。為此我們需要解方程組：

（四個未知數中至少有三個是正的。）

體積的最大值為。

最後說一下，以上的所有論證和結論在稍加改動之後可適用於更高次的情形。對於已知每一面體積的維單形，其體積在每一對對邊垂直時體積最大。