1樓：劉醉白
下面我給出兩種方法，注意到正三角形的中心其實是垂心，也是外心，分別證明是這兩個即可。
第一種方法：
引理1.如果四面體的對稜互相垂直，那麼任一頂點到所對的底面三角形的投影是該三角形的垂心。
注：互為對稜的兩條稜沒有公共頂點，如四面體A–BCD的三對對稜是AB和CD，AC和BD，AD和BC。
證明：過頂點A做底面垂線交底面於H，AB⊥CD，AH⊥CD，AB∩AH＝A，那麼CD⊥平面ABH，所以CD⊥BH，同理BC垂⊥DH，BD⊥CH，所以H是△BCD的垂心
在正四面體中A–BCD中
取CD中點E，連線BE和AE，則CD⊥BE，CD⊥AE，又AE∩BE＝E，那麼CD⊥平面ABE，那麼CD⊥AB，同理得到正四面體另外兩對對稜互相垂直，根據引理1，正四面體頂點到底面三角形的投影是底面的垂心，因為正三角形的四心合一，所以是底面的中心。
注：根據引理1，可以證明：
如果三稜錐A-BCD的三條稜AB，AC，AD兩兩垂直，那麼頂點A在底面的投影是底面三角形BCD的垂心。
第二種方法：
引理2.三稜錐A-BCD的三條稜AB＝AC＝AD，那麼頂點A在底面的投影是底面三角形BCD的外心。
證明：設投影是O，那麼
△AOB≌△AOC≌△AOD，
所以OB＝OC＝OD
正四面體A-BCD的三條稜AB＝AC＝AD，所以頂點A在底面的投影是底面三角形BCD的外心。
2樓：開心就好
設某一正四面體為A-BCD，稜長為2a，則△BCD為正三角形，記BD中點為E，取△ACE在紙面觀察，過A點向CE引垂線，垂足為F，設CF=x，CE=√3a-x，AF=y，有CF+AF=AC,EF+AF=AE，得CF=2EF，換做BC,CE中點亦成立。且F為三角形BCD三條垂線和三條中線交點，易知F為△BCD中心(正三角形三心合一稱為中心)。所以投影是中心。
3樓：薛丁格的貓
為什麼不能再中心呢？
正四面體的底面是等邊三角形ABC
假設頂點投影不在底面中心
那麼頂點Q投影在底面的點P
這個點P到三角形ABC的三個點的距離不相等不妨設PA＞PB≧PC
這樣設的目的是滿足至少兩條邊不想等
思考底面三角形ABC是等邊三角形
為什麼A點這麼特殊
我們把正四面體旋轉
使得原來A點在B，B點在C，C點在A
我想這是能做到的
因為這是正四面體
底面是等邊三角形
那麼原本的PA＞PB≧PC
就變成PB＞PC≧PA
這樣就產生矛盾了
故假設不成立
既頂點投影在底面中心
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