1樓：
首先我們有乙個不自相矛盾的包含皮亞諾公理的公理體系。
首先考慮符號邏輯，任何命題都能表示成唯一的字串形式，字串長度是有限的（用到數學歸納），稱為約化形式（忘了叫啥名字了，我自己取得，別認真）
然後從公理體系中的基本元素（符號邏輯中的變數集合）取乙個至多可數子集，存在性由皮亞諾公理保證。
然後考慮所有僅包含我們取的可數子集為變數的命題，表示成約化形式，然後可建立與可數集的一一對映（因為我們有可數個符號表示命題，而約化形式是所有有限字串集合的子集，因為可數集的有限子集的集合是可數集）
然後，關鍵部分來了，任何可證的命題可以看成乙個有限命題序列，序列首是公理，序列的任何一項可以由序列的之前的項推演出來或者本身就是公理，把這個序列翻譯成相應的數列（我們之前建立了命題集合與可數集的對應了），然後由於可數集的良序性（由皮亞諾公理保證）我們可以從所有推出某個命題的數列中找到最短的乙個，這個最短數列的長度是可遞迴的（定義公理為1，其他命題根據構建方法定義，這裡還是要用到數學歸納）
呼呼～然後構造這樣乙個命題
「任取m正整數，不存在長度為m的滿足上面講過的條件的可遞迴數列得到n」，這裡n是個未定的數，我們這樣定義n使得n恰好是那個命題對應的數，這個n的存在性由某個不動點定理保證（忘了具體咋證的了），然後現在我們的n就不是變數了，對於這個n上面的命題是不可證的因為如果可證為真說明存在滿足條件的可遞迴數列得到n，與命題本身矛盾，如果可證為假說明的確不存在滿足條件的可遞迴數列得到n，與命題本身又矛盾。
簡單的說，就是皮亞諾體系中的類似於「我不為真」的命題
哥德爾完備性定理和不完備性定理之間的關係是怎麼樣的？
蘿蔔列夫耶維奇 在所有模型中成立的句子叫做普遍有效句簡稱有效句 有意義的數學命題通常都不是有效句。舉個例子，ZF中的空集存在公理 xy乛 y x 在以下模型不成立 論域為單元素集 a 將謂詞 解釋為 a，a 即 關係。事實上，所有數學公理系統的所有公理都不是有效句，因為有效句由完全性定理可以無前提的...
能否通過避免自我指涉來避免哥德爾不完備？
玖梅 可以，之所以是要包含初等算術的系統就是因為這個強度的系統可以表達哥德爾編碼從而實現自指，無法表達哥德爾編碼的系統是可以完備又自洽的。 bixi 第一不完全定理是用自指示構造的，這個自指示的命題似乎意義不明。但第二不完全定理指出，任何乙個表達力足夠強的一致的系統，都可以在系統內形式地證明，這個系...
哥德爾不完備性定理適用於牛頓力學嗎？
Xyan Xcllet 同意高讚答主所述 牛頓力學自身和哥德爾不完備定理沒有什麼關係。不過利用牛頓力學所構建的一些 造物 確實可以給出乙個不受哥德爾不完備定理限制的系統。因為哥德爾不完備定理的另一種表述是 過於豐富的數學結構無法通過遞迴可列舉的方式所獲得。這些都是 E.J.Beggs 和 J.V.T...