1樓：
典韋VS凱以一種"民科的方式"[1]詮釋了他所理解的非標準分析。
他寫的答案misleading。
有興趣讀非標準分析的讀者可以參閱
Lecture notes to hyperreals
2樓：
反證法是不能亂用的，否則可能會出現悖論，我舉個反證法會存在悖論的例子：
標準分析裡的集合N1=；
非標準分析裡的集合N2=；
滿足N1是N2的真子集；
注：999...6,999...7,999...8,999...9這類整數都不是N1的元素，它們是非標準分析框架下的整數，也是由歸納法構造出來的。
我們知道N1是乙個可數集，那麼N1這個可數集有辦法構造成N2嗎？顯然標準分析的框架下無法構造出集合N2，為什麼會這樣呢？因為根據非標準分析模型的空間構造999...
9+1會產生乙個非實數的超實數出來，這個超實數落在了無窮大空間裡面，我們知道無窮大大於任何乙個給定的正實數，無窮小小於任意給定的乙個正實數，如果你認為這個超實數是實數，就出現了悖論。
由於N1在標準分析的框架下無法構造出N2，說明了連續統假設是個偽命題，N跟R這兩基數之間還存在著另外乙個基數N2
現在回到反證法，發現N2 採用歸納法可以證明N1的正確性，但是N1採用歸納法卻無法證明N2的正確性。
上面有答主提到直覺主義，我在補充一下，直接主義是用人類的構造性思維活動進行數學研究的方法，證明第五條公設用的就是直接主義，由集合N2及N2裡相鄰兩個整數之間的實數（這類實數包含不在標準分析框架下的實數）可以準確表示平行線的交點座標，比如（999...6,1）就是其中一點平行線的交點座標，這其實已經告訴我們實數框架下存在著第二類極限思想，歐式幾何跟非歐式幾何在直接主義裡是相容的，平行線交點涉及的幾何只是第二類極限思想的幾何。
非標準分析不是只有魯濱遜的那種，非標準分析其實是一種模型論，為了區分標準分析，我只是把不是標準分析的都歸為非標準分析。
上面已經從最基礎的公理解釋了這種非標準分析模型的存在，那位匿名的請你指出錯誤。
那位匿名的，你分享的非標準分析，我乙個個點看了一下，那種根本就解決不了非標準分析裡的四則運算問題，連連續統假設都無法證明，更不要談準確計算平行線的交點座標跟發現第二類極限思想等。
繼續說一下直覺主義，個人認為未來直覺主義的重要性要超過邏輯主義，會體現在人工智慧和量子通訊等領域，比如直覺主義可以用「拆解法+構造法」賦予人工智慧數學創造力。我簡單介紹一下拆解法里的乙個例子，因為0.999...
-0.888...=0.
111...所以等式兩邊同時去掉「0」和「小數點」後有999...-888...
=111...，邏輯主義上來就反駁，用一套套固有的理論說了一堆對解決問題基本沒用的，但是直覺主義就是這麼無厘頭，它一開始可以不搭理你邏輯主義，直覺主義為了讓這個999...-888...
=111...成立，它需要借用已知的數學公理和定理進行構造，比如構建了乙個更龐大的數學體系來使等式成立，一步步進行構造，發現很多難於解決的問題在更龐大的數學體系裡會得到解決。人工智慧是可以做到使用拆解法的，拆解法可以在很多數學分支裡使用，從而釋放更龐大的數學力量，而構造法又可以借鑑現成的方法，如果「拆解法+構造法」被成熟應用到人工智慧領域，人工智慧就會出現自我不斷進化，並進化成超強人工智慧。
3樓：free_POC
哥德爾不完全性定理說明了包含皮亞諾的情況下，存在著」真而不可證「的命題，只是說有些命題為真，但是系統推導不出來，並不是說系統會推導出假命題。換句話說，如果推導出乙個命題的否命題為假，自然也就推導出了該命題為真，那麼該命題在皮亞諾系統中就是」可證「的，不存在什麼矛盾。
關鍵可能在理解哥德爾不完全性定理的大前提是」在乙個歐公尺伽一致的系統內「這點（後來有數學家將這個嚴格的歐公尺伽一致推廣到了一般的一致性了），這就意味著不存在矛盾，那麼排中律本身就必然可用。
這裡還有個問題，你的思路倒是接近布勞威爾的直覺主義，他們認為乙個命題在證明或者否證前，」真假「未定。一般而言，數學家會認為乙個命題的真假是確定的，是否證明或者否證這個行為不會影響命題真假（柏拉圖主義）。你可以參考一下直覺主義的說法，他們不允許在包含」無窮元素」的集合中使用排中律，不過真正按照這個方案執行的數學家的數量應該不大，布勞威爾自己著名的不動點證明應該也屬於不滿足直覺主義要求的（不過後來該學派千辛萬苦的將該其從存在性證明修改為滿足直覺主義的構造性證明了）。
以上基於個人知識的一點看法，不正確的部分估計不少，供參考。
另外，可以參見羅心澄在這裡（ http://www.
）的關於排中律的解答，專業人士到底回答的更好
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