1樓：
先說說什麼是直積(product，或者叫積)。不可避免的要提一下直和(coproduct，或者叫上積)跟笛卡爾積(cartesian product)。
在抽象代數中，我們可以認為直積與直和均是把若干物件送入類似於座標不同分量的運算，例如模A和模B直積(直和)中的元素均有形式(a，b)，其中a∈A，b∈B，並且A直積(直和)B也必須是個模。它們的不同之處就在於直和要求只有有限多個座標分量不為0(可以想想為什麼會有這個要求)，而直積沒有這個限制。
這裡要涉及到範疇化的語言。首先，直積與直和是對偶(dual)的。這要從它們的泛性質(universual property)圖表來看：
直積的泛性質
直和的泛性質
可以證明如果直積(或直和)存在，則在同構的意義下唯一。並且在某些特定的範疇(例如模範疇)中，有限個物件的直和與直積其實是一回事。
上面的圖表並不能幫助理解這些東西。但是我們可以舉一些特定範疇上的例子，可以發現直積與直和確實有所不同：(我就不驗證了，驗證辦法就是上面的泛性質圖)
部分範疇中關於物件A、B的直和與直積
(這裡範疇Groups中出現了由A、B生成的自由群A*B誒！可以說區別就在這裡，乙個是直積乙個是直和，這是從代數角度理解的)
笛卡爾積簡單提一下就行了。兩個代數結構A，B作笛卡爾積得到的只是乙個集合A×B=，上面並沒有代數結構。但是直積與直和是要遺傳原來的代數結構的。
從純代數來看未免比較抽象，這個問題總要涉及一點點代數拓撲的，其實就是van Kampen定理。
環麵的同倫型是S1×S1(注意這裡是笛卡爾積，而非單點並)，基本群自然是Z×Z了。而兩個圓周的單點並的基本群是Z*Z也很好理解：直觀地從環道來理解，兩個圓周基本群的生成元都是1∈Z，故基本群Z*Z就是它們生成的自由群了。
至於這倆傢伙為什麼正好對應直積跟直和，可以從這兩個S1不同的粘合方式來看。直覺上肯定是直積攜帶的資訊更多的，所以環麵肯定是比圓周的單點並要複雜的。
[1] Rotman Joseph J. An Introduction to Homological Algebra[M]. 1979;
[2] Armstrong M A. Basic Topology[M]. 2008.
2樓：
建議題主了解一下category裡面各種結構怎麼來的。任何乙個category（gp，ring，topological space）都可以用universal property定義一些更複雜的結構。特別的，在group這個category，product這個結構就是直接乘起來，而fibered coproduct這個結構對應群的amalgamated sum（更general的free product），topological space裡面就是wedge sum (not quite...
almost)。
S1 wedge sum S1的基本群是Z*Z是基本的seifert van kampen；category解釋的話wedge sum也是fibered coproduct，A B的fibered product的基本群是兩個分別基本群的fibered coproduct。
3樓：zetaw
Z*Z的交換化是ZxZ，換言之Z*Z不交換，兩個生成元形成的譬如ababa這種是和a^3b^2不一樣的。
其實環麵可以看成S1VS1沿aba^-1b^-1粘2-cell，所以恰好這兩個基本群是交換化的關係。
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代代代代豆豆 孤獨和自由是一對孿生兄弟。因為一切讓你不孤獨的東西都在束縛著你。友情讓你不孤獨，這意味著你無法只考慮自己，你也需要為你的朋友考量。愛情，它的忠貞屬性必然也涉及到對自由的束縛。親情也是如此，家人在就會覺得溫暖，這也意味著過年過節的時候，你需要陪著他們，不能想去哪就去哪。自由到極致，應該也...