1樓：
數學難題茫茫的多。
真正的數學悖論，就乙個，羅素悖論。有時候我都覺得這是數學中唯一的悖論，是很多數學理論的基石，很多地方可以看到。它的等價的表述方式很多。
迄今我見到的其他的悖論，都不是悖論。它們要麼是錯誤的，要麼僅僅是違反直觀而不是違反邏輯。
2樓：三噩姬六花
關於數學難題，這個問題參考下面這本書。部分列出在下面的回答中。
三噩姬六花：你遇到的最難的乙個數學題是什麼？
下面介紹一些著名的數學悖論：
1芝諾悖論
在阿喀琉斯和烏龜的競賽中，他速度為烏龜十倍，烏龜在前面100公尺跑，他在後面追，但他不可能追上烏龜。當阿喀琉斯追到100公尺時，烏龜已經又向前爬了10公尺，於是，乙個新的起點產生了；阿喀琉斯必須繼續追，而當他追到烏龜爬的這10公尺時，烏龜又已經向前爬了1公尺，阿喀琉斯只能再追向那個1公尺。就這樣，烏龜會製造出無窮個起點，它總能在起點與自己之間製造出乙個距離，不管這個距離有多小，但只要烏龜不停地奮力向前爬，阿喀琉斯就永遠也追不上烏龜！
設想一支飛行的箭。在每一時刻，它位於空間中的乙個特定位置。由於時刻無持續時間，箭在每個時刻都沒有時間而只能是靜止的。
鑑於整個運動期間只包含時刻，而每個時刻又只有靜止的箭，所以芝諾斷定，飛行的箭總是靜止的，它不可能在運動。
設想乙個人從A點走到B點，要先走完路程的1/2，再走完剩下總路程的1/2，再走完剩下的1/2……如此迴圈下去，永遠不能到終點。
2伽利略悖論
伽利略認為，正整數中，有些是偶數，有些不是。因此，他就猜測，正整數一定比偶數多。但是每乙個正整數乘以 2 都能得到乙個偶數，而每乙個偶數除以 2 都能得到乙個正整數，那麼從無限的數看來，偶數和正整數都是一一對應的，那麼，這就說明，在無窮大的世界裡，部分可能等於全體。
3貝克萊悖論
數學史上把貝克萊的問題稱之為「貝克萊悖論」。籠統地說，貝克萊悖論可以表述為「無窮小量究竟是否為0」的問題：就無窮小量在當時實際應用而言，它必須既是0，又不是0。
但從形式邏輯而言，這無疑是乙個矛盾。
4集合論悖論
羅素悖論（也稱理髮師悖論、書目悖論）是由羅素發現的乙個集合論悖論，其基本思想是：對於任意乙個集合A，A要麼是自身的元素，即A∈A；A要麼不是自身的元素，即AA。根據康托爾集合論的概括原則，可將所有不是自身元素的集合構成乙個集合S1，即S1=.
據康托爾集合理論，任何性質都可以決定乙個集合，這樣所有的集合又可以組成乙個集合，即「所有集合的集合」。此集合應該是最大的集合了，因此其基數也應是最大的，然而其子集的集合的基數按「康托爾定理」又必然是更大的，那麼，「所有集合的集合」就不成其為「所有集合的集合」，這就是「康托爾悖論」。對這一悖論，康托爾並沒有感到害怕，因為通過反證法恰恰證明沒有「所有集合的集合」或者說「最大的集合」，當然也沒有「最大的基數」。
設W為一切序數所組成的集合。因為W按自然大小順序成一良序集，故W有一序數Ω。由序數性質，Ω必比W中任一序數都大，但由定義，Ω也出現在W中，從而將有Ω>Ω，這是矛盾的。
即推出互相矛盾的命題，所以是悖論。後來就稱之為布拉利－福爾蒂悖論，也叫最大序數悖論。
5理查德悖論
我們考慮乙個能夠用來定義整數的算術特徵的語言，比如漢語。我們可以用語言「第乙個自然數」來定義數字 1。又比如我們熟知的質數的定義——如果這個數「只能被一以及它自己整除」，那麼該數字是乙個質數。
每個人都能找到一些數字的特徵，所有這些定義的數量是無窮大的。但是我們可以注意到，每個特徵的定義都是由有限多的字組成的。因此我們可以把這些定義首先按照其字數多少進行排序，然後按照其字典順序（或者按照其對應的編碼的大小）定義排列成一串。
如果我們將每個定義對映到乙個數上，讓排在最前面的定義對映到1上，第二前面的定義對映到2上，等等。每個定義都有乙個號碼。
比如在某種定義的敘述下，「只能被一以及他自己整除」這個定義對應的號碼恰好是11。而且11本身也只能被1和它自己整除，因此該定義的號碼具有該定義的特徵，我們稱11不具有理查德性。但是「定義對應的號碼滿足該定義」這一點不一定總是正確的。
比如假如「第乙個自然數」對應的號碼為4，那麼它的號碼與它定義的特徵」不同，這個數就是理查德性的。
但是因為理查德性本身是乙個整數的特徵，因此它也在被列舉的定義之內。按照理查德性的定義，它本身也有乙個號碼 n。現在這個悖論來了：
n是理查德性的嗎？假如 n是理查德性的，那麼按照定義它沒有第 n個定義所描寫的特徵，也就是說 n不是理查德性的，這和我們的假設相反。
而假設 n不是理查德性的，那麼它擁有第 n個定義所描寫的特徵，也就是說它是理查德性的，這也和我們的假設相反。因此「n是理查德性的」既不能是正確的，也不能是錯誤的。
6希帕索斯悖論
畢達哥拉斯定理提出後，其學派中的乙個成員希帕索斯考慮了乙個問題：邊長為1的正方形其對角線長度是多少呢？他發現這一長度既不能用整數，也不能用分數表示，而只能用乙個新數來表示。
這一結論的悖論性表現在它與常識的衝突上：任何量，在任何精確度的範圍內都可以表示成有理數。
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