1樓：Pierre
不需要內積，但需要乙個自然變換。
簡單地說，對兩個協變函子 F: A → B 和G: B → A, 如果它們互為伴隨函子, 則對所有a ∈ Ob(A,) b ∈ Ob(B), 存在自然雙射t：
Mor(F(a), b) → Mor(a, G(b)).
「自然」的意思是，對所有f：a → a', 存在交換圖Mor(F(a'), b) → Mor(a', G(b))Mor(F(a), b) → Mor(a, G(b))而內積可以滿足這個要求，但不是只有內積能滿足這個要求。
你知道手機打這些符號有多捉急麼
2樓：
定義乙個線性對映的transpose本身是不需要內積結構的，但是定義adjoint map大概是需要的。
考慮下面這個交換圖
" eeimg="1"/>是內積誘導的同構。
3樓：
需要。這大概是線性代數裡比較基礎的東西，但是這也是線性代數裡不常講，在後期數學（例如表示論）裡很常見的操作。
先說transpose：若 是 上的線性對映，則可以定義線性對映 為 。也就是說若 ，則對所有 我們有，。
矩陣表示：令 為 的一組基，則我們可以定義這組基的對偶基：取 內一組基 滿足 ，且若 則 。
那麼如果線性變換 在基 下的表示為矩陣 ，則 在對偶基 下的表示為 的轉置矩陣 。
下面我們假設 上有乙個內積 ，對於第乙個變數是線性的，對於第二個變數是反線性的。（我們說乙個對映 是反線性的，如果對於任意複數 以及向量 ，我們有 。）也就是說，若 ，則 ，且 關於變數 線性，關於變數 反線性。
假設內積給定。我們現在定義乙個 到 的反線性對映 ，並稱之為共軛運算元。定義方法如下：
若 ，則我們有乙個線性對映 。我們把這個線性對映記作 。也就是說我們定義 滿足對任意 有 。
則容易證明 是 到 的乙個反線性對映，並且是雙射。也就是說是線性空間 和 之間的反同構。我們於是賦予乙個內積，使得 成為乙個反線性酉運算元：
也就是說，若 ，則定義 。
conjugate：若 是 上的乙個線性對映，則定義 上的乙個線性對映。我們稱 與 互相是對方的共軛運算元。
矩陣表示：若 為 的一組標準正交基，則易證明 為 的一組標準正交基，同時也是 的對偶基。若 在 下的表示為矩陣 ，則 在基下的表示為矩陣 的共軛。
adjoint：若 是 上的線性對映，則定義另乙個 上的線性對映為 。小練習：
證明若 ，則 。矩陣表示：若 為內積空間 的一組標準正交基，且 在這組基下的表示為矩陣 ，則 在這組基下的矩陣表示為 的伴隨。
小練習：令 為兩個有限維線性空間。把上述操作/定義/結論推廣到任意乙個線性對映上。
（方法1：直接運用上面的證明。方法2：
定義直和線性空間 ，把 看做 的乙個線性對映，然後運用上面的結論。）
算是上了一堂線性代數課吧。
4樓：Eldorado
不一定需要。
對任意線性對映 ，都可以定義伴隨對映 ,其中 是線性空間 的對偶空間.
而你說的內積空間上的伴隨對映 實際上和上面所說的 是"相似"的, .
其中的 是 的乙個同構對映,在有限維實內積空間中常取 ,由 表示定理可以知道這是同構.
但是並非所有的實內積空間和它的對偶空間都存在一一對應關係,故 並不是一定存在的.
（破乎的公式編輯器真是有毒。。。）
5樓：
Dual and adjoint operator
簡單的說 dual operator 和 adjoint operator 是一回事兒，因為這個圖是交換的:
所以不需要內積就可以定義伴隨。
6樓：Yuhang Liu
不一定。對線性對映 而言，它的伴隨是 也就是定義在V,W的對偶空間上的。如果學過範疇論的話，可以看出對偶操作實際上是線性空間範疇上的乙個反變函子。
而如果V=W為內積空間的話，那麼V和V*之間有由內積誘導的自然同構 " eeimg="1"/>。所以f*可以看成V到自身的對映。你把所有的定義走一遍就可以看出和線代書上的定義是一回事了，基本也就是一些抽象廢話。
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