1樓：aluea
矩陣運算很擅長用來做空間變換。
所以我一般用空間變換來理解線性代數，並且將整個初級線性代數的知識串起來，教材上其實講的蠻零碎的。
P是一組向量，Y=XP。
Y就是X經過P變換後的座標。
再來看方程組的解，對應到上面就是，求經過P變換後是Y的X。
顯然Y所表示的座標是唯一的，但是滿足描述的X卻不一定唯一。
X不唯一就意味著存在通解，什麼情況下X會不唯一？
降維打擊，X的向量空間是三維嵌入，而Y的向量空間是二維嵌入，那麼缺失的那個維度上就有無窮多的點被壓縮到了唯一的乙個Y上。
顯然這無窮多個點構成了乙個向量空間。
怎麼表示乙個向量空間？可以用基底表示，而基底就是一組極大線性無關組。
這組極大線性無關組就是基礎解系。
是不是很好理解？而且還可以此來輕鬆理解齊次與非齊次各自的解與矩陣的秩之間的關係。
2樓：破天學長
大道至簡，一切都源於最初那朵不起眼的小小浪花！
基礎解系亦然，剛開始人們徜徉在方程的淺海上，左手碰觸了這麼一朵小小的「浪花」：
發現 可以取任意值，所以，方程的解是乙個集合——解集，數學家們用 表示。
與此同時，右手也碰到了一朵類似的「浪花」：
發現 只能為0，方程才成立！
接著，放眼左右，相同的浪花排著整齊的佇列，衝擊而來，形成第一排「浪花」，即
顯然，這排浪花中既可能有「左手浪花」——式（1），也有可能有「右手浪花」——式（2），善於「游泳」的人（數學家們）為簡化計算，將這排浪花進行編排，將所有「右手浪花」排在前面，「左手浪花」排在後面，即 ,並用矩陣表示如下
容易發現，「右手浪花」的解必須是0，而「左手浪花」的解是乙個解集，當然這個解集也包括0，那麼，我們很自然的可以取對應於每一朵「左手浪花」的解集為表示，其他都取0，如此，有多少「右手浪花」，就有多少這種解集，即
共有 個，在忽略係數 下，我們拿出來每乙個解向量，發現，它們會組成乙個 維的正交基，這就可以表徵所有的解了！數學家們為了方便，給這樣能夠表徵所有方程的解集的基，賦予了乙個優雅的名字——基礎解系（額，我感覺像是這麼回事，哈哈！）。
正當你把玩浪花，洋洋得意之時，後浪們爭先恐後的衝到你的身上，將你打翻到海灘上，層層疊疊，此起彼伏，相互干涉，浪花們這個時候沒有以前佇列那麼整齊了！即
這可怎麼辦啊？
於是，又有一群硬漢衝入浪花中，誓要戰勝浪花，並給自己起名——衝浪者！
於是，奇異值分解這一衝浪神器出現了（具體請看如何理解線性代數？），在此，為書寫方便，將式（6）寫為
並根據奇異值分解，式（7）有
其中， 為正交矩陣， 而有
看完如何理解線性代數？，你或許就知道， 只是旋轉（或者鏡面反射）了向量 ，實質上就是換了個參照系，那麼，和 實質上不就是一組解集在不同基下的表示嘛！
而 的作用就是旋轉，所以，在這裡沒有實際作用，既如此，考慮如下，即
直接模擬式（4），於是，其基礎解系亦然，不同的是，有乙個基的座標變換而已！
好了，說到這裡就結束了，我要「衝浪」去了！
最後得出結論：基礎解系的「本質」是「一朵浪花」啊！（開個玩笑）
3樓：盜蹠莊屩流譽後
我來試著給乙個基礎解系的幾何理解：
你面前的方程組是乙個三元齊次方程組，這個三元齊次方程組，方程組的係數組成了乙個係數矩陣，這個係數矩陣的全部行向量均位於乙個三維空間內，這就使我們能夠直觀地想象向量與向量組的概念。
而三元齊次方程組的解向量，它的本質即是，與係數矩陣的行向量正交/垂直的向量。
三元齊次方程組的解向量，它的本質即是，與係數矩陣的行向量正交/垂直的向量。
三元齊次方程組的解向量，它的本質即是，與係數矩陣的行向量正交/垂直的向量。
具體地說，係數矩陣裡的行向量組，組成了乙個線性空間，這個線性空間的維數就是係數矩陣的行秩，例如，如果係數矩陣的秩只有1，那麼係數矩陣的行向量必然是成比例的，也就是在三維空間裡的乙個向量的放大縮小罷了，那麼，在三維空間中，和這個行向量正交/垂直的向量就是這個方程組的全部解向量。而我們知道，在乙個三維空間內，和乙個一維向量正交/垂直的向量恰好組成了乙個平面，也即乙個二維平面。這就是方程組的解空間，而這個解空間是乙個二維平面，可以用兩個不平行或者說兩個線性無關的向量來表示組成該平面的所有解向量，這就是方程組的基礎解系。
同樣地，假如係數矩陣的秩為2，那麼這個係數矩陣的三維行向量，不管它多麼複雜，都必然在三維空間裡的乙個二維平面內撲騰，而和這個二維平面所有向量正交/垂直的解向量唯有一條直線，而不能是乙個平面，那麼我們就可以理解，此時的解空間就只能是乙個一維空間，基礎解系也只有乙個線性無關的解向量。假如這個係數矩陣的秩為3，那麼，該三維空間裡的所有非零向量都可以由係數矩陣的行向量組線性表出，這時係數矩陣的三維行向量組成的線性空間就是這個三維空間本身，在這個三維空間內找不到乙個向量能與這個三維空間正交/垂直，此時這個方程組只有零解。
推廣開來，在存在n個未知數的齊次線性方程組中：①n個未知數代表了乙個n維的線性空間，該方程組的係數矩陣的行向量，與該方程組的解向量均為該n維線性空間內的乙個向量；②方程組的秩r則代表了：方程組係數矩陣裡的全部行向量只能組成乙個r維空間；③而方程組的解向量，就是在n維空間內與該r維空間正交/垂直的向量。
既然構建係數矩陣的行向量只用了r個維，那麼，剩下的n-r個維，每乙個維代表的向量就都與這個r維空間正交/垂直。這些向量組成了乙個n-r維的解空間，在該空間內的所有向量都與係數矩陣的r維行向量組正交/垂直。而基礎解系就代表了這個n-r維解空間的基。
因此，基礎解系就有n-r個線性無關的解向量，以構建這個n-r維解空間。
4樓：橘崍
基礎解系是線性無關的，並且線性方程組的任意解都可以用基礎解系來線性表示，基礎解系也不是唯一的，基礎解系是線性方程組的乙個極大線性無關部分組。
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