1樓：Richard Xu
2項，實際上我們可以構造出P(x)Q(x)=x^4026-1
考慮x^4026-1=0的4026個根，這其中2013個根在虛數軸左側，2013個根在虛數軸右側。我們構造多項式P(x)其根為虛軸左側的2013個根，Q(x)其根為虛軸右側的2013個根。
顯然P(x)和Q(x)都是2013次多項式，關鍵是要證明它們都有2014項。
先看P(x)，它的根包括-1，因此P(x)含有因式x+1，由於虛根成對，剩下的根都是共軛虛根a+bi和a-bi（a<0, b>0），所以P(x)剩下的因式為(x-a-bi)(x-a+bi)=(x-a)^2-(bi)^2=x^2-2ax+(a^2+b^2)，注意到-2a>0 a^2+b^2>0，因此P(x)所有因式的係數都為正數，故P(x)中的各項係數也均為正數，不可能為0，故P(x)有2014項。
再看Q(x)，注意到若x是Q(x)的根，則-x為P(x)的根，所以Q(x)=P(-x)，故Q(x)的各項係數就是在P(x)的各項係數前乘以(-1)的相應次冪，故同樣不為0，即Q(x)也有2014項。
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