1樓：Hilbert
就是,只不過尤拉推導出了正確的結果
當時的數學家犯過很多「偷換定義域的錯誤」:sqrt(4)=sqrt((-1)(-4))=sqrt -1*sqrt -4
尤拉只不過是將指數的定義域從實數偷換到了複數而已這也就是復指數的定義
2樓：CBNE
只要承認expx sinx cosx在x為實數時的定義，就足夠在自然的意義下給出尤拉恒等式了，這是因為解析延拓是唯一的。
如上所說，實數軸上的取值決定了複數情況下自然的取值，故尤拉恒等式並不是人們強行湊出的定義。
看到有答主提到了，復平面上這三個函式仍然滿足之前的一些恒等式。實際上通過解析延拓就可以直接把實數軸上的一些恒等式直接照搬到復平面上。
3樓：
早年我也被這個 搞得一愣一愣的。後來才漸漸明白了在複數域 不是代表 ，而是 。請仔細閱讀 Exponential function。
重要：exp(z)是乙個定義式！！！！！
從上面的定義，得出右邊
從而得出著名的 exp(it) = cos(t) + i sin(t)。
Term-wise multiplication of two copies of these power series in the Cauchy sense, permitted by Mertens' theorem, shows that the defining multiplicative property of exponential functions continues to hold for all complex arguments:
就是說神奇的地方在於，根據上面那個定義式，居然同樣滿足exp(w+z)=exp(w)exp(z) 等其他那些運算法則。當然這些運算法則是要在定義式的前提下加以證明了的。所以尤拉公式在推導中是很嚴謹的，哪有什麼偷換概念。
4樓：Toy Box
你可以把a^b這個函式從實數域解析延拓到複數域然後恰好有e^pii＝-1 憑什麼說這個式子和e無關
自然數定義的方式多了去了憑什麼說(1+1/n)^n是e的本質?
5樓：Trebor
眾所周知，尤拉恒等式的推導一定是不嚴謹的。
原因是，我們先在實數上定義了exp函式（利用導數的方程d/dx exp=exp，而導數用極限定義），那麼exp一定不可以把複數作為引數，exp(ix)這種寫法是不符合語法的。
只可以說，我們定義乙個函式exp'，它有blabla的性質，可以認為是exp在複數上的拓展；然後證明（假如已經定義好了三角函式）尤拉恒等式。
完全沒有偷換概念，只不過尤拉恒等式是錯誤的罷了。但是這完全不影響它的偉大。尤拉恒等式揭示了exp'與sin cos的聯絡，極大地推動了復變函式的發展。
這樣的一種形式推導，在數學上也是非常常見的。
當然，如果你對exp一開始就是在複數上用級數定義的，那當我沒說。
6樓：
幾何意義那裡寫的有問題。
已知e^x不能直接匯出e^ix。前者是實數域，後者是虛軸，解析延拓不是這麼玩的。
剩下的沒看了...
7樓：PHOBIA
你寫的都很對啊！雖然語言略欠嚴謹，但推導結果都是對的，甚至鏈結論都是對的。
的確，exp(ix)和exp(x)在複數中意義完全不一樣，前者代表旋轉，後者代表伸縮，你也提及了這一點，這與偷換概念何干？只不過是從實數域延拓到複數域產生了新的性質。
要是這樣也算偷換概念，那你怎麼不質疑下從實數到複數後數與數之間無法比大小呢？這樣是不是複數域也是偷換概念了？
8樓：好奇理論
先說樓主式(1)似乎跟 n 沒有關係, 且式(2)中 m 可以隨意替換成跟 n 有關的量.
再說樓主的文字中有很多十分不嚴謹的詞彙, 尤其是形容詞, 比如 "e存在本質意義上的明顯偏差", 什麼叫乙個數存在偏差? 什麼是本質的? 什麼是明顯的?
還有很麼"微觀累積", "巨集觀效應"等.
希望樓主能夠學好微積分, 再多學一點復分析, 這樣對於這方面就很清楚了.
9樓：周高超
有理。尤拉公式中的exp(z)實際是對實函式e^x的延拓，就像只要有約定，Gamma(-1)記成(-1)!也沒什麼不可以。只是每次寫這個都要把極限式寫出來，特別是複數的幅角表示z=Ae^(iθ)，那多累啊，用三角函式表示也比較長，就直接給記號得了，反正既然是延拓，縮小到實數域上和e^x等同，也不需要區分了。
10樓：武大俠
如果簡單概括就是覺得尤拉恒等式在復分析條件下e的定義（包括幾何意義）已產生了變化，一定程度上屬於偷換概念範疇。寫出全分析過程是為了說清楚思考過程，免得誤解，已經很努力精簡了，能力有限，敬請諒解。
補充：我想說一切數學公式必然能找到物理上或幾何上的對應，這種對應直接說明著乙個公式不是無意義字元的堆砌，而是有具體存在意義（邏輯上的）。尤拉公式的推導有很多種，我也僅從某一種著手，分析幾何上的對應。
我要說的是公式推導是絕對沒問題的，但是說用同乙個字母e來表示不同環境下的兩個性質不同的量是不嚴謹的（文中4部分有直觀分析），也正是這種不嚴謹，帶來了類似於什麼將5個常數完美融合在一起的過譽評價。簡單說，後面產生的e已經不是之前的e，也就是說公式的問題不是數學問題，是邏輯混淆問題。
11樓：
你真要推翻，直接說原文哪一句偷換了概念就行了，並不需要像這樣長篇大論
何況這種東西並容不得你來辯
防止汙染tl，知乎id @商先生
jojo的尤拉尤拉尤拉，木大木大木大這些效果音是替身說的，還是替身使者說的？
虎王 除了dio爺是自己喊的wryyyy！以外，似乎都是替身喊的 給世界嘴就是個裝飾 不過sbr的世界好像能說話了？記不太清了，光看迪亞哥耍帥了 腦膜炎玫渣 有的時候是替身叫的，有的時候是主人叫的。比如白金的尤拉，雖然阿強小時候也會喊，但上了高中變成了jo家第一裝逼男 不是 之後再喊尤拉就會顯得很蠢...
現實中能打出尤拉尤拉拳嗎？
你的奇蹟之愛 打空氣可以，打人不現實 其實我一直很糾結，按照白金之星的力量，不應該打一拳人就飛了麼？又不是按在牆上打，怎麼就能一直連擊？ 加勒比海藻 比較難。因為其實一記重拳是需要從跨乃至從腳開始，自下而上運勁的。尤其是跨，只有用跨帶動轉身才能確保每一擊都是有效傷害。而這種高速連續拳，就需要你頻繁的...
被白金之星尤拉尤拉是種怎樣的體驗？
又得想名字 你的全身都會感到被捶打到爛的痛苦，白金之星會把你的肌肉組織.血管連打碎裂，連打一秒後，你的身體開始大出血，已經被打的面目全非了，但是一般白金之星尤拉敵人不會下殺手，所以到第二秒時你的骨頭才開始斷裂，因為連打還在繼續，你的斷骨頭因為被震動，開始劃傷和刺穿身體器官，簡單來說就是 賊疼賊疼 如...