1樓：PerfectIsShit
無窮是一種質變的方式，哲學上的量的積累到質的飛躍的方法。通過無窮，可以從0維（虛無）到一維進發，進而像更高維度的世界邁進。而如果從短期過程來看，每一步的積累都是沒有任何質變化的因為量的積累不夠，這就產生了矛盾。
多少的量能質變?這就像薛丁格的貓一樣，說不清。
2樓：楊樹森
數學是邏輯的藝術。數學與單純的邏輯和藝術都不一樣，不僅像藝術一樣鼓勵主觀的思考和評價，而且像邏輯一樣強調嚴格的論證。
理論上，絕對的嚴格是不存在的。即便是邏輯學都認為一些基本詞彙是不能解釋的，何況是數學。將所有的精力都放在公理體系，不是數學工作者崇尚的理念。
數學對於邏輯的強調並非基於純粹的審美，而是為了使用。
如果某種公理系統有矛盾，自然不可取，但是既然現代數學的公理已經用了這麼多年了，不太可能有大的不可修正的錯誤，此時大多數人接受就可以，極少數人可以去研究，但是你不要認為這是全部的數學工作者所做的事。例如當下幾何學佔據優勢，現代幾何學就是在現有的公理下的。
當前數學的公理認為，首先無限集存在，例如自然數集，其次不存在最大的基數。這裡集合的基數是什麼意思？對於集合 如果存在 的雙射，就認為它們的基數相等。
例如有理數集看上去比自然數集大很多，基數卻相等，而實數集的基數更大。不存在最大的基數，是因為任何乙個集合的冪集，即它的所有子集構成的集合，總是有比它更大的基數。
3樓：Wawawater
這個描述是非常模糊的，尤其是關於不完備性定理的描述。正常學過數理邏輯的人肯定會先學哥德爾的一階邏輯完備性定理，然後才會學不完備性定理。
不相信無窮大概是因為沒有學過數學分析，一百年前Cantor就已經對無窮進行了嚴格的分析，定義了ordinal和cardinal從而構造出比自然數大的多的數，儘管大於實數的cardinal在絕大多數情況下可能是沒什麼實際用處的。不同領域數學研究物件所研究的物件也是不同的，即使是有限/可數大小的數學物件也是有非常豐富的結構。既然你談到了邏輯學， hierarchy。
關於不完備性定理從計算的角度來看是因為一階算術這套計算語言的描述性很強。從可判定性的角度來看，Rice定理告訴我們乙個遞迴/程式語言的nontrivial的性質都是不可計算的。然而即使邏輯學告訴了我們令人失望的理論結果這也不代表我們完全無能為力，我們依然可以通過新增型別，靜態分析在編譯的階段發現很多程式的問題。
邏輯學上的「不可能」定理完全不必干擾我們實際的研究與操作，通過限定研究物件的性質我們依然可以得出很多有意義的結果。
4樓：Nobody
徐利治先生提出「雙相無窮觀」，認為數學理論本身是相容潛無限和實無限的。我對徐先生觀點的理解也不多，只說點個人淺薄的看法。
「無窮是否存在？」要回答這個問題，首先要界定「什麼是存在」。我也說不好什麼是存在，不過我認為，「思維」是一種存在，這很容易解釋——你是有思維的，並且你「有思維」這一點，並不依賴其他人的主觀意識。
因此，我認為無窮是一種存在，至少它存在於思維中。無窮與物理性的現實世界是什麼關係，還有待研究。
在思維中，無窮有多種，並非只有一種，各種無窮分別代表了一種思維方式。就像中國古人說的「氣」這個概念，不少學者都說「氣」，但他們說的只是個人的領悟，未必相互一致。學習無窮理論至少有乙個好處，就是鍛鍊領悟能力。
無窮是否導致悖論，要看理論是如何展開的。無窮和悖論的問題展示了思維的本性特徵，這種問題具有反思性，一定程度上能影響數學的演進，也會從乙個特別的角度影響學習者對數學的認識。
5樓：我無閒
無窮必然導致悖論， 因為無窮不存在於真實世界。 但也許無窮的引入能夠令數學更方便於計算， 所以無窮仍然存在於數學中， 只要你時時知道真正無窮不存在就行了。
6樓：
「數學大牛」這個詞彙說的有點問題，好像在某一方面的數學出色整體數學知識就會優越一樣。關於無窮有很多 ultrafinitist 是反對無窮的，但他們不是主流，而且這只是的數學的乙個角落，基本上不會影響到其他部分的數學。
7樓：Yuhang Liu
並不是說學數學就一定要接受無窮的概念。承不承認實無窮存在是數學哲學立場問題，是你自己的選擇。確實有數學家不承認無窮概念（有限主義者）——也就是說他們基本不承認整套公理集合論，他們所關心的數學也不需要本質上用到無窮（可以在有限的框架內繞開和無窮有關的表述）。
但是不管你選擇什麼立場，你總要做到自洽。你不能說，我不承認不可數集存在，但是我又想和你談談連續統假設。。你既然要接受乙個數學概念，那你就要接受他的全部，既包括他給你帶來的方便之處，也包括他可能帶來的認知上的障礙。
你不能承認良序定理但又反對Tarski悖論，僅僅因為前者用起來很方便，而後者讓你感覺不舒服。
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