1樓：張小飛丶
題主別想那麼多，求極限其實就是把x趨近於0同時代入式子中的每乙個x，第乙個例子裡如果分次代入，因為涉及到1+的∞次方，顯然和同時代入效果不一樣，所以這麼做是錯的。第二個例子分次代入和同時代入沒有差別，所以可以把同時代入理解為分次代入，以分次代入的形式計算極限值，其實本質上就是同時代入。
2樓：龔漫奇
是你把即極限的常識性錯誤和極限的四則運算法則（這裡是五則運算，加了一則冪指(^)）弄混了。
極限的常識性錯誤：算n→∞時，先讓一些n→∞，讓另一些n不動，等著。等著前面的n→∞以後，後面的那些n再→∞。
這是錯誤的，這是不允許的。我們稱它為常識性的極限錯誤。但是下邊的極限的四則（五則）運算法則，卻是這種情況的特例，是成立的，也是我們證明了的。
lim[x→口]
=。注意上邊這個等式成立的條件是：右邊存在，即右邊的兩個極限都存在時，這個等式才成立，否則這個等式不成立。
而你舉的第乙個例子lim[x→0](1+x)^(1/x)，其中的lim[x→口]g(x)=lim[x→0](1/x) 恰恰不存在（=∞=不存在）。所以不能用極限四則運算的推廣，極限五則運算法則。而你舉的第二個例子，所涉及的兩個極限（乙個底的極限，乙個指數的極限）卻都是存在的，乙個等於e，乙個等於(-1) ，所以是可以應用極限五則運算法則的（但是它的表現卻像乙個極限的常識性錯誤，先讓一些n→∞，再讓一些n→∞），這是能夠證明的。
3樓：
洛必達法則！
正是因為有(0-0型)這樣特殊的極限情況，才有洛必達法則存在的意義。
這部分內容會在高數書微分部分最後學到，題主有興趣可以自學下。
4樓：sail
第二種方法可以看作冪指函式求極限。大括號裡看做f(n)，指數看作g(n)，然後變形一下用復合函式求極限的方法求。
當然還涉及到先把n看作連續變數，然後用數列極限與函式極限的關係可以證明。
題主第一種演算法沒什麼道理，因為那種演算法本質上還是看作冪指函式求極限，但是沒求對。應該和上面作同樣變形後對指數部分用洛必達法則求極限（如@一嘨而過指出）。
但本質上還是應該用夾逼準則證明，因為使用洛必達法則需要求導，推導導數公式的過程中實際上用到了這個式子的極限本身。
5樓：蒼原雪
第乙個錯了是因為1/delta趨近於無窮大。涉及到無窮大就會出bug。可以這麼想：
先算括號裡面的話，只是趨近於1，不是等於1，即使只差一點點也會被放得很大（括號內往1的趨近並不比指數往無窮大的趨近快）。但是第二個n/(n+1)是趨近於1的，1又不是無限大，沒啥影響的。
6樓：張江貴
這是兩個重要極限，證明書上有。題主的式子相當於求了兩次極限，應該叫二次極限吧(區別於二元裡二重極限)，先算裡面外面應該並沒有嚴格得規定吧，只是裡面的熟出來才可以求外面的吧。
7樓：擺竹聽風
請你，一定好好聽我說。
②中是高數中兩個重要極限的乙個，其為什麼是對的，高數的書裡面有過詳細的證明，我在這裡不贅述。
然而你的①錯誤的原因，我想指出來的是：求極限，極限符號後面的，且屬於同一因式裡面的極限，必須同時趨近。而在你的表述中我看到的是人為製造lim符號後的，△先後趨近順序。
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