1樓：dhchen
對於乙個方程 ,我們想要得到它的「解」，什麼是解？看起來這是乙個傻問題，但是這是乙個很微妙的問題。本科生的觀念中， 是一般的古典導數運算元，比如 ，而解至少是在乙個二次可導的函式空間 。
直接得到這個解的存在性是困難的，為什麼。第一， 空間太「差」，使得這個空間和上面的運算元的性質很差。比如，缺乏自反，嚴格凸和弱緊性。
數學家採用的方法是迂迴，什麼是迂迴？
「偏微分」這個概念就可以推廣，也就是所謂的「弱導數」和「廣義函式的導數」，在這個概念下，古典微分運算元變成了弱的運算元，這個運算元的好處是即使是可測函式也可以求導，而且一旦解 是古典可導的， 那麼 .這個弱運算元可以作用在弱的空間 （比如，索博列夫空間）。這個空間性質更好，上面的運算元具有更豐富的性質。
特別的，如果 是乙個希爾伯特空間，可以使用的性質更多。利用這些性質，我們容易得到（弱）解的存在性。但是，這個弱解 是有問題的，什麼問題？
第一，這個解存在的空間不具有物理意義，太弱了。比如，我們希望使得 。這就是解的正則性（之一）。
換句話說，原本的問題是我們希望得到 ,但是比起在這個狹窄的空間中找解，我們選擇在更大的空間 中找到乙個解，然後證明在某種條件下，這個解的確在 中。這後面一步叫做正則性，事實上正則性比存在性要難，而且如果假設解存在，然後證明了某種先驗估計，解的存在性就會被證明。所以，有些人說正則性才是pde的核心問題。
然後，理論上 的性質更強， 的性質也會變強。這種特效也是一種「正則性問題」。 特別的，如果 的解足夠強，弱解能否變成古典解。
pde中有乙個概念叫做「最大正則性」，也就是如果 ，那麼解能在什麼樣最好的空間中，它最大能保證的光滑性是什麼樣的？它們之間又是什麼關係？
解決正則性是乙個很大的問題，而且解決方法很多，有來來自調和分析（Calderon–Zygmund和Littlewood–Paley技巧）和各種比較存粹的pde技巧（de Giorgi, Nash迭代）。我覺得學習者可以按照那本黃書，不，「二階橢圓形偏微分方程「來學習。 不需要太著急，慢慢消化。
那本書很大的問題是，所有的技巧都是」浮光掠影「，讓你覺得此物只應天上有，忽然降落在凡塵，非常詫異。但是，如果你深入地學過調和分析，非線性泛函分析等工具，你會發現那種技巧是自然的，想法也是自然的。
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